【Bellman-Ford求负环】UOJ32 [UR #2] 跳蚤公路

【题目】
UOJ
一幅$n$个点$m$条有向带边权$w_i$的图，每条边还有一个红绿白三色之一。
称一条从$1$开始，最后停在某个城市$v$的路径为发财路径当且仅当路径上存在负环。
现在可以选定一个数$-10^{30}\le x\le 10^{30}$，将每条红色边加上这个权，每条绿色边减去这个权。
问对于所有的$v$，有多少个$x$可以使得不存在发财路径，若数量大于$10^{18}$输出$-1$

$n\le 100,m\le 10000,|w_i|\le 10^9$

【解题思路】
雅礼的时候趣题选讲讲过，然而并没有怎么听懂，对于$\text{Bellman-Ford}$这个算法并不是很熟悉。

这个算法的大概思路是设$f_{i,j}$表示走了$i$步到达$j$的最短路长度，若$f_{n,j}<f_{n-1,j}$，则节点$j$在负环上。

对于此题由于有一个加权，不妨多加一维，设$f_{i,j,k}$表示走了$i$步，到达$j$，$x$的系数为$k$，所需的最短距离。那么我们可以得到出现负环的条件：
$$kx+f_{n,i,k}<jx+f_{n-1,i,j}$$
由于一个负环影响整个连通块，那么对于每个连通块中的点，可行的$x$需要满足：
min ⁡ { k x + f n , i , k } ≥ min ⁡ { j x + f n , i , j } \min \{ kx+f_{n,i,k}\}\geq \min \{ jx+f_{n,i,j}\} min{kx+fn,i,k​}≥min{jx+fn,i,j​}
要解这个不等式，首先对于每个$k$，枚举所有$j$，求出下面解集的补集：
k x + f n , i , k ≥ min ⁡ { j x + f n , i , j } kx+f_{n,i,k} \geq \min \{ jx+f_{n,i,j}\} kx+fn,i,k​≥min{jx+fn,i,j​}
然后对于所有补集求并后再求补集即可。

最后解集的形式一定为$(-\infty ,t],[l,r],[t,+\infty )$中的一种（因为对于一个环有负环时满足条件的$x$取值一定可以取到一边的极限）

复杂度大概是$O(n^3)$

【参考代码】（是抄的）

#include<bits/stdc++.h>
#define mkp make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<ll,ll> pii;
const int N=105,M=10005;
const ll inf=1e18;
int n,m;
bool mp[N][N];
ll f[N][N][N<<1];
vector<pii>vec[N],st;

struct edge{int u,v,w,s;}e[M];
ll Ceil(ll a,ll b);
ll Floor(ll a,ll b)
{
	if(a<0)a=-a,b=-b;
	if(b<0)return -Ceil(a,-b);
	return a/b;
}
ll Ceil(ll a,ll b)
{
	if(a<0)a=-a,b=-b;
	if(b<0)return -Floor(a,-b);
	return (a-1)/b+1;
}
void gmin(ll &x,ll y){x=min(x,y);}
void gmax(ll &x,ll y){x=max(x,y);}

void init()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;++i) mp[i][i]=1;
	for(int i=1;i<=m;++i)
	{
		scanf("%d%d%d%d",&e[i].u,&e[i].v,&e[i].w,&e[i].s);
		mp[e[i].u][e[i].v]=1;
	}
	for(int k=1;k<=n;++k) for(int i=1;i<=n;++i) for(int j=1;j<=n;++j)
		mp[i][j]|=mp[i][k]&mp[k][j];
}
void bellmanford()
{
	memset(f,0x3f,sizeof(f));f[0][1][n]=0;
	for(int i=1;i<=n;++i) for(int k=0;k<=2*n;++k)
	{
		for(int j=1;j<=n;++j) f[i][j][k]=f[i-1][j][k];
		for(int j=1;j<=m;++j) if(k-e[j].s>=0 && k-e[j].s<=2*n)
			gmin(f[i][e[j].v][k],f[i-1][e[j].u][k-e[j].s]+e[j].w);
	}
}
void solve()
{
	for(int i=1;i<=n;++i) for(int j=0;j<=2*n;++j) if(f[n][i][j]<inf)
	{
		ll l=-inf,r=inf;
		for(int k=0;k<=2*n;++k) if(f[n-1][i][k]<inf)
		{
			if(j==k){if(f[n-1][i][j]==f[n][i][j])r=-inf,l=inf;}
			else if(j<k) gmax(l,Floor(f[n-1][i][k]-f[n][i][j],j-k)+1);
			else gmin(r,Ceil(f[n-1][i][k]-f[n][i][j],j-k)-1);
		}
		if(l<=r) vec[i].pb(mkp(l,r));
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		st.clear();
		for(int j=1;j<=n;++j) if(mp[j][i]) 
			{for(int k=0;k<(int)vec[j].size();++k) st.pb(vec[j][k]);}
		sort(st.begin(),st.end());
		ll l=-inf,r=-inf-1,sum=2*inf+1;
		for(int j=0;j<(int)st.size();++j)
			if(st[j].fi<=r) gmax(r,st[j].se);
			else sum-=r-l+1,l=st[j].fi,r=st[j].se;
		sum-=r-l+1;
		if(sum>=inf/100) puts("-1"); else printf("%lld\n",sum);
	}
}

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("UOJ32.in","r",stdin);
	freopen("UOJ32.out","w",stdout);
#endif
	init();bellmanford();solve();
	return 0;
}