【二次剩余+BSGS】CC_FN Fibonacci Number

【题目】
原题地址
给定一个$C$和一个$P$，求最小的$n$使得$fi{b}_n\equiv C(\text{mod }P)$。
多组数据，$T\le 100,11\le P\le 2\times 10^9$，$P$是一个素数，且个位数字为$1$或$9$

【解题思路】
一道算是模板的题目，不过我倒是看了好久。初中数学没学好

首先这个素数的性质就很奥妙重重，观察以后我们发现$5$在模$P$下是有二次剩余的，于是我们可以考虑直接用$fib$的通项来做。

设$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$那么要求的就是最小的$n$满足$\frac{1}{\sqrt{5}}(x^n-(\frac{1}{-x}{)}^n)\equiv C(\text{mod }P)$。实际上就是解决一个长得像$a+\frac{1}{a}=b$的问题，因为$a,b$都已知，我们直接同乘$a$然后解二元一次方程就可以求出$a$。也就是说我们已经知道了$x^n$，于是我们现在可以通过$\text{BSGS}$来求出这个$n$了。

复杂度$O(T\sqrt{P})$

【参考代码】（看着写的，自己不是很熟悉这方面）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
int T,C,mod;
ll sq5,inv2,Y,K,ans,cur;

ll ppow(ll x,ll y,ll p)
{
	ll res=1;x%=p;
	for(;y;y>>=1,x=x*x%p)if(y&1)res=res*x%p;
	return res;
}

namespace BSGS
{
	map<ll,ll>mp;
	ll calc(ll x,ll y,ll p,bool fg)
	{
		//printf("%lld %lld %lld %d\n",x,y,p,fg?1:0);
		mp.clear();fg=!fg;
		ll S=ceil(sqrt(p)),now=1;
		for(int i=0;i<S;++i,now=now*x%p)
			if(!mp.count(now)) mp[now]=i;
		for(int i=0;i<=p;i+=S)
		{
			now=y*ppow(ppow(x,i,p),p-2,p)%p;
			if(mp.count(now) && (((i+mp[now])&1)^fg)) return i+mp[now];
		}
		return -1;
	}
}

namespace Cipolla
{
	ll w,p;
	struct cd
	{
		ll x,y;
		cd(ll _x,ll _y):x(_x),y(_y){}
		cd operator * (const cd&a)const{return cd((x*a.x+y*a.y%p*w)%p,(x*a.y+y*a.x)%p);}
	};
	cd qpow(cd x,ll y)
	{
		cd res=cd(1,0);
		for(;y;y>>=1,x=x*x)if(y&1)res=res*x;
		return res;
	}
	ll calc(ll x,ll P)
	{
		p=P;x%=p;
		if(!x) return 0;
		ll t=ppow(x,p-1>>1,p);
		if(t^1) return -1;
		for(;;)
		{
			t=rand()%P;
			ll now=(t*t%mod+mod-x)%mod;
			if(ppow(now,p-1>>1,p)==p-1) break;
		}
		w=(t*t%mod+mod-x)%mod;
		cd A=cd(t,1);
		return qpow(A,p+1>>1).x;
	}
}

void calk(int id)
{
	ll v1=(cur+K)*inv2%mod,v2=(cur+mod-K)%mod*inv2%mod;
	//printf("%lld %lld\n",v1,v2);
	ll X=BSGS::calc(Y,v1,mod,id);
	//printf("%lld %lld\n",X,mod);
	if(~X) ans=min(ans,X);
	X=BSGS::calc(Y,v2,mod,id);
	//printf("%lld\n",X);
	if(~X) ans=min(ans,X);
}

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("CC_FN.in","r",stdin);
	freopen("CC_FN.out","w",stdout);
#endif	
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d%d",&C,&mod);
		ans=mod+1;inv2=mod+1>>1;sq5=Cipolla::calc(5,mod);
		Y=(sq5+1)*inv2%mod;cur=sq5*C%mod;
		//printf("%lld %lld %lld %lld\n",sq5,cur,inv2,Y);
		K=Cipolla::calc((ll)5*C*C%mod+4,mod);
		if(~K) calk(0);
		K=Cipolla::calc((ll)5*C*C%mod+mod-4,mod);
		if(~K) calk(1);
		if(ans==mod+1) puts("-1");
		else printf("%lld\n",ans);
	}

	return 0;
}