算法备忘录~完全背包问题

最新推荐文章于 2024-05-29 11:01:15 发布

原创最新推荐文章于 2024-05-29 11:01:15 发布 · 410 阅读

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#c++ #算法 #动态规划

这篇博客探讨了完全背包问题，与01背包的区别在于每种物品可以无限件。核心在于从最小重量的物品开始遍历，以实现最大价值。文章提供了C++测试代码，并强调了遍历顺序的重要性，防止数组访问越界。总结了01背包和完全背包的遍历差异。

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题目：

有N件物品和⼀个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有⽆限个（也就是可以放⼊背包多次），求解将哪些物品装⼊背包⾥物品价值总和最⼤。
完全背包和01背包问题唯⼀不同的地⽅就是，每种物品有⽆限件。

回顾一下01背包的核心代码

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

01背包内嵌的循环是从⼤到⼩遍历，为了保证每个物品仅被添加⼀次。

⽽完全背包的物品是可以添加多次的，也就是说，即便从头往后遍历，上一次的结果选了某个物品，那么本轮循环依然可以选择这个物品，不存在数量限制，所以要从⼩到⼤去遍历，即：

for(int i = 0; i < weight.size(); i++){ //遍历物品
    for(int j = weight[i]; j < bagWeight; j++){ // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j],dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

由于完全背包的内嵌循环是从小到大的正序遍历，因此两个for循环嵌套顺序无所谓，可以先遍历物品，也可以先遍历背包容量。

C++测试代码

完整的C++测试代码如下：

//先便利物品，再遍历背包
void test_CompletePack(){
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;
    vector<int> dp(bagWeight + 1,0);
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++){ //遍历物品
        for(int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) { //遍历背包容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout<< dp[[bagWeight] << endl;
}
int main() {
    test_CompletePack();
}

若更改遍历顺序为：

先遍历背包，再遍历物品

则内层循环的执行语句要加条件，因为 j 从0 开始，很有可能 j < weight[i]，一旦出现这种情况就会数组索引访问越界，这是十分危险的。

void test_CompletePack() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;
    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
    for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { //遍历背包容量
        for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { //遍历物品
            if(j = weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j],dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
    test_CompletePack();
}

总结：

01背包和完全背包唯⼀不同就是体现在遍历顺序上，至于动规五部曲的其他步骤是一模一样的，可以参见之前的01背包问题

https://blog.youkuaiyun.com/DrLinShu/article/details/118787446?spm=1001.2014.3001.5501

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