数论快速矩阵幂 POJ 3233 Matrix Power Series 二分和

本文介绍了一种使用矩阵快速幂来高效求解特定形式的矩阵序列求和问题的方法。通过实现矩阵乘法、加法及快速幂算法，可以有效地计算形如 A + A^2 + A^3 + ... + A^k 的矩阵序列之和。

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题意：给出矩阵A，求S = A + A^2 + A^3 + … + A^k ，n为矩阵

题解：

矩阵快速幂写出矩阵 * 与+的功能

二分求和

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
const int N=33;
int n,mod;
struct mat{
	//矩阵 
	int n,at[N][N];
	mat(int n=0){
		this->n=n;
		memset(at,0,sizeof(at));
	}
	mat operator *(mat b){
		mat tmp=mat(n);
		for(int i=0;i<n;i++){
			for(int k=0;k<n;k++){
				if(at[i][k]){
					for(int j=0;j<n;j++){
						tmp.at[i][j]=(tmp.at[i][j]+(at[i][k] * b.at[k][j])%mod)%mod;
					}
				}
			}
		}
		return tmp;
	}
	mat operator +(mat b){
		mat tmp=mat(n);
		for(int i=0;i<n;i++){
			for(int j=0;j<n;j++){
				tmp.at[i][j]=(at[i][j]+b.at[i][j])%mod;
			}
		}
		return tmp;
	} 
};
mat expo(mat d,int k){
	if(k==1) return d;
	mat e(n);
	memset(e.at,0,sizeof(e.at));
	for(int i=0;i<n;i++) 
		e.at[i][i]=1;
	if(k==0) return e;
	while(k)
	{
		if(k&1) e=d*e;
		d=d*d;
		k>>=1;
	}
	return e;
}
mat sum(mat d,int k){
	if(k==1) return d;
	if(k&1){//奇数  
//	printf("=%d\n",k);	
		// d^k+上一步累计下来的和 
		return expo(d,k)+sum(d,k-1); 
	}
	else {  //偶数 
//	printf("-%d\n",k);
		mat s=sum(d,k>>1);
		// d^(k/2)*（上一步累计的和）+上一步累计的和
		// 举例： 
		// d^2 * (d^1 + d^2) + (d^1 + d^2)
		//        d^3 + d^4  +  d^1 + d^2
		return expo(d,k>>1)*s+s;
	}
}
int main()
{
	int k;
	while(~scanf("%d%d%d",&n,&k,&mod)){
		mat a(n);
		for(int i=0;i<n;i++)
			for(int j=0;j<n;j++){
				scanf("%d",&a.at[i][j]);
				a.at[i][j]=a.at[i][j]%mod;
			}
		mat ans=sum(a,k);
		for(int i=0;i<n;i++){
			for(int j=0;j<n-1;j++){
				printf("%d ",ans.at[i][j]);
			}
			printf("%d\n",ans.at[i][n-1]);
		}
			
	}
	return 0;
}