Codeforces Round #439 C. The Intriguing Obsession （组合数）-优快云博客

本文探讨了一个关于在三个岛群间合法建设桥梁的问题，并提供了一种有效的算法解决方案。该算法通过排除非法路径来确定所有可能的合法建桥方案数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Problem

有三个岛群，分别有 a, b, c 个岛屿。要求在这三个岛群建桥（可以不建），问有多少种不同的建桥方案（有任意一座桥的任意一个端点不同即视为不同方案）。

要求：每座桥的长记为 1，属于同一岛群的两个岛间最短距离至少为 3 ，或者两岛不存在路径。

Idea

由于同岛群的任意两岛最短距离至少为 3 或不能有路径。则可知，非法路径的连接方案为：

同岛群两岛直接连接。
同岛群两岛均与另一岛群的某岛连接。

故反向条件为：任意两岛群之间取任意 k ( $岛群数岛群数k\in [0, \min{(岛群数1, 岛群数2)}]$ ) 个点，两两建桥均为合法。三个岛群的总方案数即认为是 (a岛群, b岛群) * (a岛群, c岛群) * (b岛群, c岛群) 。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod = 998244353;
int a, b, c;
long long C[5010][5010], fac[5010];
void init()
{
    C[0][0] = 1;
    fac[0] = 1;
    for(int i=1;i<=5000;i++)
    {
        (fac[i] = fac[i-1] * i) %= mod;
        C[i][0] = C[i][i] = 1;
        for(int j=1;j<i;j++)
            (C[i][j] = C[i-1][j-1] + C[i-1][j]) %= mod;
    }   
}
long long solve(long long x, long long y)
{
    long long mn = min(x, y);
    long long ret = 1;
    long long tmp;
    for(int i=1;i<=mn;i++)
    {
        tmp = C[x][i] * C[y][i] % mod * fac[i] % mod;
        ret = (ret + tmp) % mod;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    init();
    scanf("%d %d %d", &a, &b, &c);

    long long ans = solve(a, b) * solve(b, c) % mod * solve(a, c) % mod;
    printf("%lld\n", ans);
}