机器人 正向运动学（Forward Kinematics） 关节空间转换为笛卡尔空间

1. 关节空间和笛卡尔空间的定义

• 关节空间：
  描述机器人的每个关节的位置。对于旋转关节来说，是关节角度；对于移动关节来说，是关节的线性位移。
  关节空间是通过机器人的各个关节角度来描述机器人的状态。每个关节对应一个自由度，在多关节机器人中，每个关节的位置可以通过旋转角度或伸缩距离来表示。关节空间的优势在于它是机器人的控制系统直接使用的坐标系，便于控制各个关节的运动和协调。

• 笛卡尔空间：
  描述机器人的末端执行器在工作空间中的位置和姿态。通常用 ( (x, y, z) ) 表示位置，用欧拉角或四元数表示姿态（方向）。
  笛卡尔空间是以三维坐标系（x、y、z轴）来描述机器人的位姿（位置和姿态），通常是机器人的工作区域或末端执行器的空间。笛卡尔坐标的原点通常位于机器人基座处。在这个空间中，机器人的位置和姿态可以用x、y、z三个平移量和姿态的三个旋转角来描述。

2. 使用 Denavit-Hartenberg (DH) 参数建立正向运动学模型

通过 Denavit-Hartenberg 参数方法，可以用每个关节的四个参数（连杆长度 ( a_i )、连杆偏移 ( d_i )、连杆扭转角 ( \alpha_i )、关节角 ( \theta_i )）来定义各个关节之间的坐标变换矩阵。

对于每个关节 ( i )，我们构造一个 4x4 的齐次变换矩阵 ( T_{i-1}^i )，描述该关节相对于前一个关节的位姿。

3. 计算变换矩阵

将各个关节的齐次变换矩阵进行连乘，从基座坐标系（通常是世界坐标系）一直乘到末端执行器，得到末端执行器相对于基座的位姿：<