NEFU 84 五指山 求解同余方程的最小解

点击打开链接

 

五指山

Time Limit 1000ms Memory Limit 65536K

description

西游记中孙吾空大闹天宫，如来佛祖前来降伏他，说道：“我与你打个赌赛；你若有本事，一筋斗打出我这右手掌中，算你赢，再不用动刀兵苦争战，就请玉帝到西方居住，把天宫让你；若不能打出手掌，你还下界为妖，再修几劫，却来争吵。” 那大圣闻言，暗笑道：“这如来十分好呆！我老孙一筋斗去十万八千里。他那手掌，方圆不满一尺，如何跳不出去？”急发声道：“既如此说，你可做得主张？”佛祖道：“做得！做得！”伸开右手，却似个荷叶大小。那大圣收了如意棒，抖擞神威，将身一纵，站在佛祖手心里，却道声：“我出去也！”你看他一路云光，无影无形去了。大圣行时，忽见有五根肉红柱子，撑着一股青气。他道：“此间乃尽头路了。这番回去，如来作证，灵霄殿定是我坐也。”翻转筋斗云，径回本处，站在如来掌：“我已去，今来了。你教玉帝让天宫与我。” 如来骂道：“你正好不曾离了我掌哩！”大圣道：“你是不知。我去到天尽头，见五根肉红柱，撑着一股青气，我留个记在那里，你敢和我同去看么？”如来道：“不消去，你只自低头看看。”那大圣睁圆火眼金睛，低头看时，原来佛祖右手中指写着“齐天大圣，到此一游。”大圣大吃了一惊道：“有这等事！有这等事！我将此字写在撑天柱子上，如何却在他手指上？莫非有个未卜先知的法术？我决不信！不信！等我再去来！” 好大圣，急纵身又要跳出，被佛祖翻掌一扑，把这猴王推出西天门外，将五指化作金、木、水、火、土五座联山，唤名“五行山”，轻轻的把他压住。 我们假设佛祖的手掌是一个圆圈（所以任凭大圣一个筋斗云十万八千里也是飞不出其手掌心），圆圈的长为n，逆时针记为：0，1，2，…,n-1，而大圣每次飞的距离为d.现在大圣所在的位置记为x,而大圣想去的地方在y。现在要你告诉大圣至少要多少筋斗云才能到达目的地。

input

有多组测试数据。 第一行是一个正整数T，表示测试数据的组数。 每组测试数据包括一行，四个非负整数，n（2 < n < 10^9），表示如来手掌圆圈的长度；d(0 < d < n),筋斗所能飞的距离；x(0 <= x < n),大圣的初始位置；y(0 <= y < n)，大圣想去的地方。 注意孙悟空的筋斗云只沿着逆时针方向翻。

output

对于每组测试数据，输出一行，给出大圣最少要翻多少个筋斗云才能到达目的地。如果无论翻多少个筋斗云也不能到达，输出“Impossible”.

sample_input

2 3 2 0 2 3 2 0 1

sample_output

1 2

hint

source

 

由题意知x+s*d=y+b*n，可得s*d-y*n=y-x。即s*d-y*n=m。求s。如果有解的话，m%gcd(d,n)==0。然后用扩展欧几里得算法解出最小s即可。

 

#include<stdio.h>

long long gcd(long long a,long long b)
{
    if(b==0)return a;
    return gcd(b,a%b);
}

long long exgcd(long long A,long long &x,long long B,long long &y)
{
    long long x1,y1,x0,y0;
    x0=1;y0=0;
    x1=0;y1=1;
    long long r=(A%B+B)%B;
    long long q=(A-r)/B;
    x=0;y=1;
    while(r)
    {
        x=x0-q*x1;
        y=y0-q*y1;
        x0=x1;
        y0=y1;
        x1=x;y1=y;
        A=B;B=r;r=A%B;
        q=(A-r)/B;
    }
    return B;
}


int main()
{
    int cas;
    scanf("%d",&cas);
    while(cas--)
    {
        long long n,d,x,y,s,t,g,ans;
        scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&d,&x,&y);
        x=(y-x+n)%n;
        g=gcd(d,n);
        if(x%g!=0)
        {
            printf("Impossible\n");
            continue;
        }
        n/=g;
        d/=g;
        exgcd(d,s,n,t);
        if(s<0)
            s+=n;
        ans=(s*x/g)%n;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}