线性代数让我想想：克拉默法则

最新推荐文章于 2025-08-13 00:20:19 发布

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#线性代数 #算法

克拉默法则详述了非齐次线性方程组有唯一解的条件，当系数行列式不为零时，通过替换常数项构建的行列式比率求解未知量。同时，对于齐次线性方程组，行列式非零意味着唯一零解，零解则要求行列式为零。这一法则在数学和工程问题中有着广泛应用。

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克拉默法则

克拉默法则：

若 $n$ 个方程 $n$ 个末知量构成的非齐次线性方程组
$\left\{\begin{array}{l} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{m} x_{n}=b_{n} \end{array}\right.$
的系数行列式 $∣A∣≠0|\boldsymbol{A}| \neq 0$ ，则方程组有唯一解，且
$x_{i}=\frac{\left|\boldsymbol{A}_{i}\right|}{|\boldsymbol{A}|}, i=1,2, \cdots, n$
其中 $∣Ai∣\left|\boldsymbol{A}_{i}\right|$ 是 $∣A∣|\boldsymbol{A}|$ 中第 $i$ 列元素 (即 $x_{i}$ 的系数) 替换成方程组右端的常数项 $,bnb_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}$ 所构成的行列式。

克拉默法则的推论：

若包含 $n$ 个方程 $n$ 个末知量的齐次线性方程组
$\left\{\begin{array}{l} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n}=0 \end{array}\right.$
的系数行列式 $∣A∣≠0|\boldsymbol{A}| \neq 0$ 的充要条件是方程组有唯一零解。