GDUT_寒假训练题解报告_数论专题_个人题解报告——题目：F - 青蛙的约会【POJ - 1061】【数论（EXGCD，最小正整数解）】_题目描述两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面。它们很高-优快云博客

原题是POJ-1061；
题目：

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

我们设跳跃次数为t(time)，然后跳了k圈，也就是：
(x+mt) - (y+nt)=kl
这样的式子，俩未知数，可以化成ax+by=c的形式：
(n-m) * t + kl = x-y;
这里还要注意一个问题，就是正负问题，式子ab一定要是全都正数，这样的话正负又会反馈给xy这两个解。

所以要这样搞：

LL a=n-m;
	LL b=l;
	LL c=x-y;
	LL k,t;
	if(a<0)
	{
		a=-a;
		c=-c;
	}

这样做的目的是让a是一个正值，刚才说了ab都要是正数，那为什么c不考虑而直接调转呢，这是因为c起到的作用在exgcd函数中是不起作用的：

LL exgcd(LL a,LL b,LL &t,LL &k)
{
	int d=a;
	if(b==0)
	{
		t=1;
		k=0;
	}
	else
	{
		d=exgcd(b,a%b,k,t);
		k-=(a/b)*t;
	}
	return d;
}

这个函数求的是ax+by=gcd(a,b)的特解 t和 k，但是并没有去考虑c。
首先，我们得到的tk是对于gcd(a,b)而言的，现在要对c而言怎么办呢？

第一，判断c是gcd的整数倍，这样才能得出有解
第二我们就可以让
t*=c/gcd;
k*=c/gcd;
来达到tk成倍数增长与c相适应。

接下来我们可以用用c来求通解和特解；
通解：x+b/gcd*n是x的通解（相当于x每次可以增减：b/gcd的整数倍）
y同理。

最小正整数解：
当求出来的x是正数，直接x%=b/gcd;
如果是负数，就要x=x%b/gcd+b/gcd;

完整代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <string>
#include <climits>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
//鬼畜头文件
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1e9+7;
typedef unsigned long long ULL;
typedef long long LL;
//鬼畜define
LL x,y,n,m,l;
LL exgcd(LL a,LL b,LL &t,LL &k)
{
	int d=a;
	if(b==0)
	{
		t=1;
		k=0;
	}
	else
	{
		d=exgcd(b,a%b,k,t);
		k-=(a/b)*t;
	}
	return d;
}
int main()
{
	scanf("%lld %lld %lld %lld %lld",&x,&y,&m,&n,&l);
	LL a=n-m;
	LL b=l;
	LL c=x-y;
	LL k,t;
	if(a<0)
	{
		a=-a;
		c=-c;
	}
	LL gcd=exgcd(a,b,t,k);
	if(c%gcd!=0)printf("Impossible\n");
	else
	{
		t=t*c/gcd;
		if(t>=0)t%=b/gcd;
		else t=t%b/gcd+b/gcd;

		printf("%lld\n",t);
	}

	return 0;
}