算出所有不能写成两个过剩数之和的正整数之和。

本文介绍了一种算法,用于找出所有无法表示为两个过剩数之和的正整数,并计算这些数的总和。通过定义过剩数的概念并利用编程实现,最终确定了所有符合条件的数。

如果一个数的所有真因子之和等于这个数,那么这个数被称为完全数。例如,28的所有真因子之和为1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28,所以28是一个完全数。

如果一个数的所有真因子之和小于这个数,称其为不足数,如果大于这个数,称其为过剩数。

12是最小的过剩数,1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16。因此最小的能够写成两个过剩数之和的数字是24。经过分析,可以证明所有大于28123的数字都可以被写成两个过剩数之和。但是这个上界并不能被进一步缩小,即使我们知道最大的不能表示为两个过剩数之和的数字要比这个上界小。

找出所有不能表示为两个过剩数之和的正整数之和。

public class Test {
	public static boolean isNum(int n) {
		int sum = 0;
		for (int i = 1; i < n; i++) {
			if (n % i == 0) {
				sum += i;
			}
		}
		if (sum > n) {
			return true;
		}
		return false;
	}

	public static void main(String[] args) {
		int max = 28123;
		long total = 0; // 总计
		int count = 0; // 记录过剩数个数
		int[] flag = new int[max + 1]; // 标志
		int[] n = new int[max]; // 存储所有过剩数
		for (int i = 0; i <= max; i++) {
			if (isNum(i)) {
				n[count] = i;
				count++;
			}
		}
		for (int i = 0; i < count; i++) {
			for (int j = 0; j < count; j++) {
				if (n[i] + n[j] <= max) {
					flag[n[i] + n[j]] = 1;
				}
			}
		}
		for (int i = 0; i <= max; i++) {
			if (flag[i] != 1) {
				total += i;
			}
		}
		System.out.println(total);
	}
}


这个问题要我们根据一个正整数 $ n $ 的**真因之和**与 $ n $ 本身的关系,判断它是 **过剩(Abundant)**、**不足(Deficient)** 还是 **完美(Perfect)**。 --- ### ✅ 问题分析 - **真因**:所有小于 $ n $ 的正因(即能整除 $ n $ 且 $ < n $ 的) - 计算真因之和 $ s $ - 比较: - 若 $ s > n $:输出 `Abundant` - 若 $ s < n $:输出 `Deficient` - 若 $ s == n $:输出 `Perfect` --- ### ⚠️ 关键挑战:据范围高达 $ 2 \times 10^9 $ 不能用 $ O(n) $ 枚举所有因! 必须使用 **高效因枚举法(试除法)**,时间复杂度 $ O(\sqrt{n}) $ --- ### ✅ 解决方法:遍历 $ i = 1 $ 到 $ \sqrt{n} $ 对于每个能整除 $ n $ 的 $ i $: - 如果 $ i < n $,则 $ i $ 是真因 → 加入 - 如果存在配对因 $ j = n / i $,且 $ j \neq i $ 且 $ j < n $,也加入 > 注意:不要把 $ n $ 自己加进去(因为只取真因) --- ### ✅ 特殊情况处理 - $ n = 1 $:真因为空 → 为 0 → $ 0 < 1 $ → 输出 `Deficient` --- ### ✅ C++ 实现代码 ```cpp #include <iostream> #include <cmath> using namespace std; int main() { long long n; cin >> n; if (n == 1) { cout << "Deficient" << endl; return 0; } long long sum = 0; long long sqrt_n = sqrt(n); for (long long i = 1; i <= sqrt_n; ++i) { if (n % i == 0) { // i 是因 if (i < n) { sum += i; } long long j = n / i; // j 是另一个因 if (j != i && j < n) { sum += j; } } } if (sum > n) { cout << "Abundant" << endl; } else if (sum < n) { cout << "Deficient" << endl; } else { cout << "Perfect" << endl; } return 0; } ``` --- ### ✅ 示例验证 #### 输入:`6` 真因:1, 2, 3 → = 6 → Perfect ✅ #### 输入:`12` 真因:1,2,3,4,6 → = 16 > 12 → Abundant ✅ #### Input: `8` 真因:1,2,4 → = 7 < 8 → Deficient ✅ #### Input: `1` 无真因 = 0 < 1 → Deficient ✅ --- ### ✅ 时间复杂度分析 - 只循环到 $ \sqrt{n} $,约为 $ \sqrt{2 \times 10^9} \approx 44721 $,完全可在 1 秒内完成 --- ### ✅ 优化说明 - 使用 `long long` 防止溢出(尤其当 n 接近 2e9 时,`i*i` 可能越界) - 只遍历到 `sqrt(n)`,避免超时 - 正确处理重复因(如 $ i = j $ 的情况) --- ###
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