Loj 2080 JSOI2016 病毒感染

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本文探讨了一个关于寻找最优路径的问题，具体是在一系列村庄中进行救援活动，确保所有村庄都被救助，同时最小化总成本。通过动态规划的方法，作者提出了一种有效的算法来解决这个问题，关键在于枚举转头的位置，以及考虑到可能不掉头直接前进的情况。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Solution

条件的意思是只要你往回走，那么就要把之前没有救的村庄给救了。
考虑认识怎么走的，必定是走一段，往回走，再走一段，再往回，知道救完。

那么我们设 $f [i]$ 表示人现在在 $i$ ，并且 $1 - i$ 的村庄都救完的最小代价。那么我们枚举一个 $j$ ，表示人现在 $j$ ，有 $f [j]$ 的代价，然后再从 $j + 1$ 往返走到 $i$ 。就是说，枚举转头的地方。那么设这个代价为 $w [i] [j]$ ，表示从i走到j，然后再从 $j$ 走到 $i$ 的代价，这时候我们假定 $1 - (i - 1)$ 都已经被救了了， $i - n$ 没有被救。
一开始想错了，想枚举 $j$ 什么时候救，然后发现不可做，应该枚举 $i$ 什么时候救。

但是还有一个问题，就是我有可能从 $i$ 走到 $j$ 不掉头，表示了吗？答案是肯定的，考虑用 $i - 1$ 去更新 $i$ 的时候，就相当于不掉头。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 3e3 + 10;
int n , a[N];
ll w[N][N] , f[N] , sum[N];
int main(){
	cin >> n;
	for (int i = 1;i <= n;i++){
		scanf("%lld",&a[i]);
		sum[i] = sum[i-1] + a[i];
	}
	
	for (int i = 1;i <= n;i++){
		w[i][i] = sum[n] - sum[i];
	}
	
	for (int len = 2;len <= n;len++){
		int days = 3 * len - 5;
		for (int i = 1;i <= n - len + 1;i ++){
			int j = i + len - 1;
			w[i][j] = w[i+1][j] + 2ll * (sum[n] - sum[i]) + sum[n] - sum[j];
			w[i][j] = min(w[i][j] , w[i+1][j] + sum[n] - sum[i-1] + 1ll * days * a[i] + a[i] + 2ll * ( sum[n] - sum[j] ) );
		
		}
	}

	memset(f , 0x3f , sizeof f);
	f[0] = 0;f[1] = sum[n] - sum[1];
	for (int i = 2;i <= n;i++){
		f[i] = w[1][i] + 1ll * ( i - 1 ) * (sum[n] - sum[i]);
		for (int j = 1;j + 1 <= i;j++){
			f[i] = min(f[i] , f[j] + sum[n] - sum[j] + w[j+1][i] + 1ll * ( i - j - 1) * ( sum[n] - sum[i] ) );
		}
	}	
	cout << f[n];
	return 0;
}