12.8省选总结

常见dp总结：

目录

树形DP

完成情况	题目	出处
AC	Choosing Capital for Treeland	Codeforces 219 D #135
	A simple graph problem	HDU 4980

数位DP

完成情况	题目	出处
	Round Numbers	POJ 3252
	F(x)	HDU 4734
AC	Beautiful numbers	Codeforces 55 D #51
	阿里云秘钥池	计蒜之道2017复赛

状压DP

完成情况	题目	出处
AC	Little Pony and Harmony Chest	Codeforces 453 B #259
	A Graph Problem	CDOJ 1296

概率DP

完成情况	题目	出处
AC	Aeroplane chess	HDU 4405
AC	Bag of mice	Codeforces 148 D #105
	Highlander	SGU 385

树形dp：

树形$dp$的套路做法大概是两种，其一是链上统计，其一是换根操作。链上统计，顾名思义，就是只统计$root$到它的这条链的信息，然后用$lca$这样的方式算答案。换根操作就是如果要统计每个点的答案，那么我们就要想办法在很短的时间内将之前的$dp$数组转移到现在的。

例题：

给你一颗树，所有节点为黑色，现在你需要将某些节点改变为白色，使得每条边的两端至少有一个白色节点，问最少需要改变多少节点。
设$f[i]$表示这个点不改的时候，填完子树用的代价。$g[i]$表示这个点要改的答案。
那么转移比较明显：$f[i]=\sum g[son] ，g[i] = 1 + \sum min（f[son]，g[son]）$。
依赖背包
首先，我们易得一个$nv^2$的做法。下面考虑优化。我们注意到多出来的$v$实际上是合并背包，两个背包合并。而$01$背包是一个物品合并到背包上，所以少一个$v$。那么改一下$dp$的定义，$left[i]$表示i这个物品及其之后的$dfs$序上的子树最值，然后转移就比较显然了。
codeforces 219 D
首先我们可以以每一个为$root$做一次，但是明显要$TLE$。所以我们要换根。如何换，我们注意到当一棵树转移到其子树的时候，实际上就只有他与儿子的那条边的贡献要变，只用改这个点就可以了。
poj 3170
就是找重心。只不过用$dp$找，$dp[i]$表示这颗子树的大小，然后乱搞
给你一颗树，每个节点都有权值，有些节点也是陷阱。现在从树上一点出发，不经过重复的节点，到另一个节点终止，并且经过最大不超过C个陷阱（C<4），要求路径的权值和最大。
$dp[i][j]$表示i这个点向下走$i$个陷阱的最值，转移明显。但是我们注意到这几个点不能直接重做，所以考虑换根，就是换根之后只用考虑是不是从其儿子转移上来的就可以了。
HDU 4980
注意到一条边最多会有$2$个人走，所以设$dp[i][j]$表示i这个点上有j个人向上走。转移的时候，我们考虑子树之间的匹配，就是考虑这几个子树之间有多少个相互转弯，然后还要加上拐点的权值。

数位dp：

需要满足的要求
1.求某个区间$[l，r]$满足某个条件的数的个数。
2.这种统计有前缀性。
此时我们就可以用前缀和相减得到答案了。

例题

求区间[A,B]间恰有K个8的数的个数。
裸题，设$dp[l][k]$表示长度为$l$，有前导零，有$k$个八的个数，转移的时候，我们直接枚举中间的断点来转移。（也可以直接公式转移）统计答案的时候，根据顶不顶上界乱搞就好了。
poj 3252
设$dp[i][j]$表示长度为$i$，$0$比$1$多$j$个的数有多少个，转移显然。（当然要注意$j$可能是负数，要把下标转移一下）。
HDU 4734
$dp[i][res]$表示当前有$i$位，还可以有$res$的数的个数。
Codeforces 55D
首先，我们注意到，我们可以状压，然后转移。但是这样复杂度太高了，所以考虑优化。我们有这个$lcm$最大是$2520$，所以我们可以传的时候传$mod 2520$的值，然后又注意到，这个$mod 2520$是可以离散化的，就是算出来只有$48$个，就可过了。
计蒜之道2017复赛（阿里云秘钥池）
我们设$dp[i][j]$表示第i位，这一位为$j$，然后根据此，我们可以得到一个转移：
$dp[i][j] = \sum dp[i-1][gcd(i,j)==1$]，这样子，是$p ^2 logn$，要炸，那么考虑转移用莫比乌斯反演优化。
我们有
$dp[i][j] = \sum _{j=1}^{p-1} \sum _{d|i,d|j} \mu (d) \times dp[i-1][j] = \sum _{d|i} \mu(d)\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{p}{d} \rfloor}dp[i-1][j\times d]$
这样$\sum dp[i-1][j*d]$可以在$nlog$的时间搞出来。

状压dp：

首先这类问题的基本特征是数据很小（一般只有$15$），而且感觉如果不压的话，要讨论很多种情况。
旅行商问题
$dp[i][s]$表示现在在$i$，已经走过了$s$的最小值，转移显然。
CodeForces 453B
注意到$b[i]$不可能大于$60$（如果大于，我们为什么不用$1$呢），所以我们压一下$60$以内的素数。$dp[i][s]$表示前$i$个达到$s$的最小值，转移的时候通过枚举下一个素数是多少来转移，就是$dp[i][s] = dp[i-1][s-{q}] + abs(q-a[i])$，其中$q$是枚举的素数。
CDOJ 1296
一堆dp方程
$dp1[s]$表示不通过其他的点，集合中的点互相联通的最少边，实际是一个连通性问题，答案要么是不行，要么是$n-1$。
$dp2[s]$表示可以通过其他的点的最少边。那么如何从$dp1$转移呢。我们注意到，如果有$dp2[s]$，那么它可以从$dp2[s+{1...}]$转移，这里的意思是通过枚举通过哪些点变成了联通。可以证明是$3^n$的。
$dp3[s]$表示一个联通块的连通性，这里压的是块，转移就是$dp2$直接转移，意义是这几个块全部联通。
$dp4[s]$表示可以不连通的代价，那么把这个$s$拆开，然后从$dp3$一个一个加上去。

概率与期望dp

通过高消，系数转移，拓扑序等做。

例题：

给出一张有向图G = (V, E)。（DAG）顶点i的权值为Wi 。给出Pu, v表示顶点u经过边(u, v)到顶点v的概率。若某点i发出边概率和为Pi ，那么在顶点i时有1－Pi的概率停止行动。定义路径权为这条路径上所有点权之和。问从一个顶点s开始，在每次按照指定的概率走的前提下，到某一顶点停止行动时所走的路径权的期望值。
$dp[i]$表示走到$i$的期望。然后转移的时候，枚举他的前驱，然后他的前驱可以$Pa/times dp[a]$ 转移过来，不要忘了还要加上这个点的权值。
（非DAG）
我们可以得到$n$个方程组，然后设$0$点为$x$，高斯消元。
HDU 4405
我们设$dp[i]$表示$i$点还要期望投多少次骰子，由全概率公式得$dp[i]=\frac{dp[i+1..6]+1}{6}$，还有飞跃点的以及连续飞跃点的。
Codeforces 148D
$dp[i][j]$表示王妃开始抓时有$i$只白的，$j$只黑的，然后讨论情况得到转移。
SGU 385
$f [i, j, k]$表示了错位排列中$i$个数字已经确定，最长环为 $j$，且有 $k$ 个 长度为 $j$ 的环的方案数。
转移等如下：

一个m×n的棋盘，左上至右下编号为(1, 1)至 (m, n)，并给定每个格子到周围四个格子的概率。一个骑士从(1, 1)开始，按照给定概率走，问到达(m, n)的期望步数。题目保证从任一格开始到(m, n)的概率均为1 。
明显高消，但是会$TLE$。我们注意到实际上只有两侧有系数，所以可以优化一个$nm$。