[NOI2008]志愿者招募，洛谷P3980，线性规划对偶定理以及整数解

最新推荐文章于 2024-07-15 19:19:55 发布

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本文介绍了一种使用线性规划模型解决志愿者调度问题的方法，通过构建对偶问题并利用单纯形法求解，详细展示了算法实现过程，包括读取输入、构建系数矩阵、执行单纯形迭代以及输出结果。

正题

题目链接

这一题很容易构造一个线性规划的模型。

对于每一天，在这一天的志愿者的总和大于等于需要的人数，最小化每种志愿者乘其单价费用的和。

它的对偶问题也很容易构造出来。

再来看对偶之后的A矩阵，一定是一个01矩阵，并且需要的人数和单价都为整数，那么就符合整数解的条件。

连构造初始解都不用，直接上单纯形。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;

int n,m;
double a[10010][1010];
double eps=1e-5;

int read(){
	int x=0;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0' || ch>'9') ch=getchar();
	while(ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return x;
}

void pivot(int x,int y){
	double temp=a[x][y];a[x][y]=1;
	for(int i=0;i<=n;i++) a[x][i]/=temp;
	for(int i=0;i<=m;i++) if(x!=i){
		temp=a[i][y];a[i][y]=0;
		for(int j=0;j<=n;j++) a[i][j]-=temp*a[x][j];
	}
}

void simplex(){
	int x,y;
	double mmin;
	while(1){
		x=y=0;
		for(int i=1;i<=n;i++) if(a[0][i]>eps) {y=i;break;}
		if(y==0) break;
		mmin=(double)1e15;
		for(int i=1;i<=m;i++) if(a[i][y]>eps && a[i][0]/a[i][y]<mmin) mmin=a[i][0]/a[i][y],x=i;
		if(x==0) break;
		pivot(x,y);
	}
}

int main(){
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) a[0][i]=read();
	int x,y,c;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		x=read();y=read();c=read();
		a[i][0]=c;
		for(int j=x;j<=y;j++) a[i][j]=1;
	}
	simplex();
	printf("%.0lf",-a[0][0]);
}