CF2032F. Peanuts Misère Nim game

题目

给你一个长度为 $n$ 的序列 $a_i$ ，你可以将这个序列划分成若干段，每一段都是一个 Nim 游戏，但是每次只能操作当前最左边非空 Nim 游戏。你先手，问有多少种划分方案，使得你可以赢下最后一个 Nim 游戏。$n\le 10^6,a_i\le 10^9$

题解

考虑一个 Nim 游戏的获胜者会成为下一个 Nim 游戏的后手，所以当前游戏的手可能会想怎么样才能输掉当前的 Nim 游戏，来获得下一个 Nim 游戏的先手。

怎么样才能输掉 Nim 游戏呢？

答案在这里：Misère Nim game

所以，我们关注的只是到底谁可以获得左起第一个包含非平凡元素的 Nim 游戏的 控制权 。注意这里不一定是 先手 。（如果这个 Nim 游戏的异或和为 0 ，那么显然 后手 才拥有 控制权）

如果拥有这个游戏的控制权，那么就可以选择在当前游戏和以后的游戏选择赢或者输，最终达到取得最后一个游戏的胜利。

具体来说：

1. 如果当前游戏中存在非平凡元素且 $T={\stackrel{◯}{+}}_{i\in S}{a}_i>0$ ，那么这个游戏取得先手即可。
2. 如果当前游戏中存在非平凡元素且 $T={\stackrel{◯}{+}}_{i\in S}{a}_i=0$ ，那么这个游戏取得后手即可。
3. 如果当前游戏中全为平凡元素，那么就根据当前集合的大小奇偶性和下一个游戏所需要取得的先后手来确定当前集合所需要取得的先后手。

从后一直往前推，一直推到第一个包含非平凡元素集合即可。

剩下的就很简单了，讨论一下第一个非平凡元素所在集合的右端点和可行的左端点就可以了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1000010,mod=998244353;
int n,a[N],ci[N],o[N];

int main(){
    int T;
    n=1000000;
    ci[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++) ci[i]=(ci[i-1]<<1)%mod;
    o[0]=1;for(int i=1;i<=n/2;i++) o[i]=(o[i-1]+ci[2*i-1])%mod;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
        int pos=1;
        while(pos<=n && a[pos]==1) pos++;
        if(pos==n+1){
            if(n&1) printf("%d\n",ci[n-1]);
            else printf("%d\n",0);
            continue;
        }
        int tot=0,ans=0;
        for(int i=pos;i<=n;i++){
            tot^=a[i];
            if(tot>1) ans=(ans+1ll*o[(pos-1)/2]*(i==n?1:ci[n-i-1]))%mod;
            else if(tot==1) {
                if(pos&1) ans=(ans+1ll*ci[pos-1]*(i==n?1:ci[n-i-1]))%mod;
            }
            else{//tot==0
                if(!(pos&1)) ans=(ans+1ll*ci[pos-1]*(i==n?1:ci[n-i-1]))%mod;
            }
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
}