Misère Nim game

题目

跟 Nim 游戏一样，但是取走最后一个元素的人输。

结论

设 $$T={\stackrel{◯}{+}}_{i=1}^n{a}_i$$
当 a_i 全为 1 时，显然可以根据 n 的奇偶性来判断。
当 a_i 中存在一个 >1 的元素时，则 T>0 <=> 先手必胜
这里先手必胜的含义是：一定可以取剩最后一个 1 ，然后让对方取，令对方输游戏。

扩展

若在正常的 Nim 游戏中 ，当 a_i 中存在 >1 的元素时，T>0 <=> 想赢就赢想输就输
因为此时， Nim 和 Misère Nim 中都可以获胜， Misère Nim 中获胜意味着可以取剩最后一个 1 ，让对方取，所以 想输就输 。

证明

设 a_i>1 的元素为非平凡元素。
当不存在非平凡元素时，证明显然。

当存在非平凡元素时：

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引理 1

若一开始存在非平凡元素 ，那么按照 Nim 游戏的策略，T>0 -> T=0 -> ... -> T>0 -> T=0 -> T>0 一定会存在某一个 T>0 的时刻，非平凡元素只有恰好一个。

引理 1 证明

首先，对于任意 T=0 的状态，如果元素中存在非平凡元素，那么肯定不止一个。因为高位的异或和也为 0 ，所以不能单独存在。

从先手开始：

1. 若当前非平凡元素只有一个的时候，结论显然。

2. 否则，当前非平凡元素个数 >=2 ，那么当 T>0 -> T=0 时，由于只能操作一个元素，且 T=0 的时候，非平凡元素个数 >=2 or =0，故 T=0 的时候非平凡元素个数一定是 >=2 的。当 T=0 -> T>0 时，也只能操作一个元素，故 T>0 时非平凡元素个数 >=1 ，回到先手开始操作。

由于操作序列有限，所以一定会存在某一个 T>0 的时刻，非平凡元素只有恰好一个。

引理 1 证毕。

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先手：

如果只存在一个非平凡元素，那么可以根据剩下平凡元素个数的奇偶性，将非平凡元素取完 or 取成平凡元素，那么这样就可以使得其必胜。

否则，先手还是和 Nim 游戏一样，将 T>0 的状态转移到 T=0 的状态。

由于引理 1 ，先手一定会存在某一个 T>0 的时刻，非平凡元素只有恰好一个。

证毕。