强联通分量，双联通分量详解

正题

强联通分量

我们开两个数组 $low,dfn$ 。$dfn$ 表示 $i$ 点的 $dfs$ 序， $low$ 表示 $i$ 点能到达的最小的 $dfs$ 序。

有两个步骤：

若存在边 $(x,y)$ ，且 $y$ 未被遍历，那么遍历 $y$ ，然后用 $low[y]$ 更新 $low[x]$ 。
若存在边 $(x,y)$ ，且 $y$ 在栈内，那么用 $dfn[y]$ 更新 $low[x]$。

返回时，若 $dfn[x]=low[x]$，那么说明当前能到达的最小 $dfs$ 序就是本身，也就说明了一个新的强联通分量的产生。所以不断弹栈直到 $x$ 即可。

有时候会发现，即使将第二个步骤中的 $dfn[y]$ 写成 $low[y]$ 仍然是正确的。
首先要理解当前在栈内的节点的对应子图一定是弱联通的。其次，在栈内，若 $dfn[y]>dfn[x]$ 且存在边 $(x,y)$，那么 $y$ 必然是 $x$ 的子孙。
所以当 $dfn[y]>dfn[x]$ 的时候，$low[y]$ 一定会通过步骤 $1$ 来更新 $low[x]$。
当 $dfn[y]<dfn[x]$ 的时候，到达 $low[x]$ 的 路径是否只走一次向上的步骤已经无所谓了，因为并不影响答案。

割点

首先 $dfs$ 树上一个点的两个子树没有一条直接边相连（也就是没有横叉边），否则在遍历第一个会直接遍历第二个子树。

割点在第二个步骤里面只可以用 $dfn[y]$ 更新 $low[x]$ ，因为此时的 $low[x]$ 的定义发生改变，变为 $dfs$ 到 $x$ 的这条链上 $x$ 能到达的最上面那个点（不走父边）。

对于一个点，如果有 $dfs$ 树上 $y$ 是 $x$ 的儿子，而且 $low[y]\ge dfn[x]$ ，那么说明 $y$ 不能走到 $x$ 的祖先去，也就说明了割掉 $x$ ，会出现 $y$ 这个联通块。

根要特殊判断，若根有两个 $dfs$ 树上两个子节点，那么说明割掉根会形成两个联通块，那么根就是一个割点，否则不是。

点双联通分量

性质：
1.任意两点间至少存在两条点不重复的路径等价于图中删去任意一个点都不会改变图的连通性，即BCC中无割点
2.若 $BCC$ 间有公共点，则公共点为原图的割点
3.无向连通图中割点一定属于至少两个 $BCC$ ，非割点只属于一个 $BCC$

若存在树边 $(x,y)$ ， $x$ 为 $y$ 的父亲，且 $low[y]\ge dfn[x]$ ，当前在栈内且比 $y$ 高的节点与 $x$ 形成了一个点双联通分量，因为这些节点不能到达比 $x$ 的 $dfn$ 更小的节点，同时，可以发现这些点形成的对应子图中不存在割点，否则已经被单独拿出来作为一个新的点双了。

还有要注意的是， $x$ 点可能已经在一个更小标号的点双连通分量里面，所以，在弹出栈内的节点的时候只需要弹出到 $y$ 点，而不是弹出到 $x$ 点，因为这样会把更多的点弹掉。

最后在栈内的节点恰好是根节点。

割边

更新方法还是一样的。

根也不用特殊判断，若 $(x,y)$ 是树枝边， $low[y]>dfn[x]$ ，那么说明 $y$ 子树内不可以到达 $x$ 上面的点，说明 $(x,y)$ 就是一条割边。

边双联通分量

我们把割边删除，然后直接 $dfs$ 一遍，在一个连通分量里面的就是边双联通分量。

圆方树

在上面的点双连通分量里面我们已经知道了一个点可能在多个点双连通分量里面。

那么我们每一个点双连通分量新建一个方点，然后方点向那些在栈内里面的节点连边， $x$ 向这个新建的节点连边，我们把原来的这些点称为圆点，那么容易发现圆点和方点是两两相间的，就形成了一棵圆方树，可以用这个东西在上面维护信息，特别是仙人掌。