MATH 262 Financial Mathematics Second semester 2023-2024 Exercises Sheet 4Matlab

Java Python Second semester 2023-2024

Financial Mathematics

MATH 262

Exercises Sheet 4

Exercise 1

The table below provides a probability distribution for the rates of return (r.o.r.) on stocks A , B and C.

State	Probability	r.o.r. on A	r.o.r. on B	r.o.r. on C
1	0.10	10%	10%	35%
2	0.30	25%	− 10%	15%
3	0.30	5%	30%	10%
4	0.30	15%	15%	5%

What is the expected rate of return on stocks A, B and C?

Exercise 2

We consider the same stocks introduced in Exercise 1. Find the variance on stock A, stock B and stock C.

Exercise 3

We consider again the same stocks introduced in Exercise 1. Let p1  be a portfolio consisting of 25% stock A, 30% stock B and 45% stock C, and let p2  be a portfolio consisting of stock A and stock B with weights wA (min) and wB (min) respectively (it is the minimum-variance portfolio).

(1) What is the expected rate of return on the portfolio p1 ?

(2) What is the variance on the portfolio p1 ?

(3)  Compute wA (min).

Exercise 4

Consider a portfolio p consisting of Stock A with weight w1  and stock B with weight w2  where

1)  Stock A : ˆ(r)1  = 10% and σ1  = 12%.

2)  Stock B : ˆ(r)2  = 15% and σ2  = 20%.

3)  Correlation between rates of return ρ = − 1.

Using the definitions in Chapter 2 (Diversification), we have ˆ(r)p  = w1 ˆ(r)1  + w2 ˆ(r)2  and w2  = 1 − w1 , so we deduce the linear relationship

ˆ(r)p =ˆ(r)p(w1 ) =ˆ(r)2 + w1 (ˆ(r)1  − ˆ(r)2 ) ,                                                  (1)

between the weight of stock A and the expected rate of return on the portfolio. We have also the (w1 ,σp) relationships described by the relation

σp(w1 ) = ‘w1(2)σ 1(2) + 2w1 (1 − w1 )Cov (r1 , r2 ) + (1 − w1 )2 σ2(2).   (2)

By combining (1) and (2) find a relationship between the portfolio standard deviation σp  and its expected rate of return ˆ(r)p