xynuoj 1864 士兵杀敌（一）

树状数组求和应用

最新推荐文章于 2018-08-02 21:10:06 发布

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#树状数组

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本文介绍了一种高效的数据结构——树状数组(Binary Indexed Tree, Fenwick Tree)，用于快速查询和更新数组中任意区间元素之和。通过示例说明如何使用树状数组解答关于士兵杀敌数目的问题，并提供了具体的实现代码。

1864: 士兵杀敌（一）

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题目描述

南将军手下有N个士兵，分别编号1到N，这些士兵的杀敌数都是已知的。

小工是南将军手下的军师，南将军现在想知道第m号到第n号士兵的总杀敌数，请你帮助小工来回答南将军吧。

注意，南将军可能会问很多次问题。

输入

只有一组测试数据
第一行是两个整数N,M，其中N表示士兵的个数(1<N<1000000)，M表示南将军询问的次数(1<M<100000)
随后的一行是N个整数，ai表示第i号士兵杀敌数目。(0<=ai<=100)
随后的M行每行有两个整数m,n，表示南将军想知道第m号到第n号士兵的总杀敌数（1<=m,n<=N)。

输出

对于每一个询问，输出总杀敌数每个输出占一行

样例输入

样例输出

6
9

提示

nyoj108

来源

nyoj数据结构

树状数组

来自百科：

树状数组(Binary Indexed Tree(B.I.T), Fenwick Tree)是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和，但是每次只能修改一个元素的值；经过简单修改可以在log(n)的复杂度下进行范围修改，但是这时只能查询其中一个元素的值(如果加入多个辅助数组则可以实现区间修改与区间查询)。

这种数据结构（算法）并没有C++和Java的库支持，需要自己手动实现。在Competitive Programming的竞赛中被广泛的使用。树状数组和线段树很像，但能用树状数组解决的问题，基本上都能用线段树解决，而线段树能解决的树状数组不一定能解决。相比较而言，树状数组效率要高很多。

假设数组a[1..n]，那么查询a[1]+...+a[n]的时间是log级别的，而且是一个在线的数据结构，支持随时修改某个元素的值，复杂度也为log级别。

来观察这个图：

令这棵树的结点编号为C1，C2...Cn。令每个结点的值为这棵树的值的总和，那么容易发现：

C1 = A1

C2 = A1 + A2

C3 = A3

C4 = A1 + A2 + A3 + A4

C5 = A5

C6 = A5 + A6

C7 = A7

C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8

...

C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16

这里有一个有趣的性质：

设节点编号为x，那么这个节点管辖的区间为2^k（其中k为x二进制末尾0的个数）个元素。因为这个区间最后一个元素必然为Ax，

所以很明显：Cn = A(n – 2^k + 1) + ... + An

算这个2^k有一个快捷的办法，定义一个函数如下即可：

   
         int 
         lowbit(
         int 
         x){
        
         return 
         x&(x^(x–1));
        
         }

利用机器补码特性，也可以写成：

   
         int 
         lowbit(
         int 
         x){
        
         return 
         x&-x;
        
         }

当想要查询一个SUM(n )(求a[n]的和），可以依据如下算法即可：

step1:　令sum = 0，转第二步；

step2:　假如n <= 0，算法结束，返回sum值，否则sum = sum + Cn，转第三步；

step3: 令n = n – lowbit(n)，转第二步。

可以看出，这个算法就是将这一个个区间的和全部加起来，为什么是效率是log(n)的呢？以下给出证明：

n = n – lowbit(n)这一步实际上等价于将n的二进制的最后一个1减去。而n的二进制里最多有log(n)个1，所以查询效率是log(n)的。

那么修改呢，修改一个节点，必须修改其所有祖先，最坏情况下为修改第一个元素，最多有log(n)的祖先。

所以修改算法如下（给某个结点i加上x）：

step1: 当i > n时，算法结束，否则转第二步；

step2: Ci = Ci + x， i = i + lowbit(i)转第一步。

i = i +lowbit(i)这个过程实际上也只是一个把末尾1补为0的过程。

对于数组求和来说树状数组简直太快了!

注：

求lowbit(x)的建议公式：

lowbit(x):=x and -x;

或lowbit(x):=x and (x xor (x - 1));

lowbit(x)即为2^k的值。

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<algorithm> 
using namespace std;
int a[1000010];//记录士兵杀敌数
int tree[1000010]; 
int N;
int lowbit(int x){//求的是节点x的管辖区间即2^k（k为x的二进制末尾0的个数） 
	return x&(-x);
}
void add(int i,int x){//修改：给数组中的第i个元素加上x
	while(i<=N){
		tree[i]+=x;
		i+=lowbit(i);//emmmm…加上i的管辖区域 
	} 
}
int sum(int i){//查询：查询的是从第一个节点到当前节点（i）的总和
	int s=0;
	while(i>0){
		s+=tree[i];
		i-=lowbit(i);
	}
	return s;
}
int main(){
	int M,x,y;
	scanf("%d %d",&N,&M);
	for(int i=1;i<=N;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		add(i,a[i]);
	}
	for(int i=0;i<M;i++){
		scanf("%d %d",&x,&y);
		if(x>y)
		swap(x,y);
		printf("%d\n",sum(y)-sum(x-1));
	}
	return 0;
}