线性代数-Gilbert Strang(第一部分)

第一课时：方程组的几何解释

线性方程组的两种理解方式：行图像(row picture)、列图像(column picture)

• 行图像：试图将每一个完整方程所表示的图像表示出来；
• 列图像：关注矩阵的列所表示的向量，把两个方程组放在一起考虑。这样做的目的是找到两个列向量的正确的线性组合为右侧向量。

方程组解的情况：

如果是奇异矩阵，即不可逆矩阵，在行图像中看即至少有两个方程组所表示的平面是平行的，在列图像中看即至少有两个列向量是指向同一方向的（即不相互独立，相当于同一个向量），此时，只有b处在这个向量和另一个非共线向量所表示的平面内时，方程组才有解。

矩阵与向量相乘的方法

• 将矩阵 $A$ 与向量 $x$ 的相乘，看成 $A$ 各列的线性组合，这是极力推荐的：
  
  • 矩阵乘以右侧列向量可看成矩阵各列向量的线性组合，结果为列向量
  • 左侧行向量乘以矩阵可看成矩阵各行向量的线性组合，结果为行向量
• 原始点乘方式

第三课时：矩阵乘法、矩阵的逆

矩阵乘法

行列点乘、列方法、行方法、列x行方法、分块乘法

矩阵的逆

A为不可逆矩阵的充要条件：

• 行列式为0
• 列向量的线性组合可以得到0向量
• 秩小于n
• Ax=0有非0解
• 有特征值0

求逆的方法(Gauss-Jordan)：

1. 将矩阵A和I放到一起形成增广矩阵
2. 对增广矩阵中的A进行消元，将A变成I
3. A的逆即为消元过后增广矩阵的右侧部分

证明：设 $E$ 为进行消元操作的矩阵，即 $EA=I$，那么$E=A^{-1}$，故 $E[A\; I]=[I\;A^{-1}]$.

另外：

• ${(AB)}^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
• $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$(求逆操作可以与转置操作颠倒顺序)

第四课时：A的LU分解

$A=LU$ 是最基础的矩阵分解。L 是下三角矩阵，U 是A通过消元得到的上三角矩阵。L 是对A进行的所有操作矩阵的逆的反向乘积。

例：$E_{32}E_{31}E_{21}A=U$，那么 $A=E_{21}^{-1}E_{31}^{-1}E_{32}^{-1}U=LU$.

消元的复杂度：
对于1个 $n\times n$矩阵，需要进行的加和乘的操作次数为 $O(\sum n^2)=O(n^3)$

第五课时：转置、置换、向量空间

置换(Permutation)矩阵：

• 用来对矩阵进行行互换操作的矩阵，是重新排列了的单位矩阵
• n阶单位阵共有 $n!$ 个置换矩阵，这些置换矩阵构成置换矩阵群
• 所有置换矩阵都可逆，且逆等于转置

实际上在做LU分解的时候，需要对矩阵A进行行互换，以避免主元上出现0，这里就可以用到置换矩阵。因此LU分解可以表示为：PA=LU.

向量空间、子空间

向量空间：对加法和数乘运算封闭，即对线性组合封闭，即空间内的向量的线性组合仍然在空间之内。例：直线、平面、三维空间。

子空间：取某向量空间的部分空间，这部分的向量对加法和数乘封闭，称这个空间为子空间。
例：
- $R^2$（平面）的子空间：穿过原点的直线、原点/零向量.
- $R^3$的子空间：穿过原点的平面、穿过原点的直线、原点/零向量.

矩阵的子空间：
通过列向量构造，矩阵的列向量的所有线性组合构成了一个子空间，称为列空间。如果列向量恰好在一条线上，那么子空间就是一条直线。

如果列空间部分向量线性相关，那么称其中最大的非线性相关列向量为主列。

第六课时：列空间和零空间

从列空间的角度看 Ax=b 的解，如果方程有解的话，说明 b 位于 A 的列空间之中.这样的b应满足以下条件：

• b为零向量。因为Ax=0总有一个零解。
• b是列向量的线性组合.

零空间(Null space)：

零空间指的是 Ax=0 的所有解x所构成的空间。
例如：

$$\begin{bmatrix} 1&1&2 \\ 2&1&3 \\ 3&1&4 \\ 4&1&5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c \\ c \\ -c \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$
此时的零空间是 $R^3$ 中穿过原点的一条直线。

求解零空间可以使用消元法.

证明零空间是一个向量空间：
如果 $Av=0$，$Aw=0$，设a,b为常数，那么 $a \cdot Av+b \cdot Aw = A(a\cdot v+b\cdot w)=0$. 即零空间的向量对加法和数乘封闭.

前面考虑的是 $b=0$ 的情况，那么如果 $b\neq 0$，那么它的解空间是否构成向量空间呢？
答案是否定的，因为明显零向量不在这个空间。它通常是不过原点的平面或者不过原点的直线。

第七课时：求解Ax=0：主变量、特解

消元：对矩阵A的行向量做线性变换是不会改变解空间的。

对矩阵A的消元可以得到阶梯形(echelon)矩阵U（这里如果应该进行消元的列的主元为0的话，就对下一列进行消元，这时的消元后矩阵就是阶梯形的），每行的首个非零元素为 主元 (pivot).

这里引出 秩 的概念：Rank(A)=主元的个数

消元后得到方程变成了Ux=0，但解和列空间不变。通过回代即可求解。

称含主元的列为主列，其它列为自由列。

求解零空间的算法：

• 对A 进行矩阵消元，确定主列，其余为自由列；
• 然后对自由变量分配数值。一般的，可以令其中一变量为1，其他均为0，求出一个解，再令另一个变量为1，其他为0，完成另一个解。。求出的这些解向量完全不同，每一个解都是零空间的一部分，整个解就构成了完整的零空间了。

特解：给定自由变量特定的值(0或1)求出的解。特解的个数即为自由列的个数。通过特解的线性组合能够构造整个零空间，

算法总结：消元后矩阵U 的秩Rank(A)=r，表示主变量的个数，主元的个数，表示只有r 个方程起作用，
那么自由变量的个数即n-r 个，令自由变量取1,0 值就能得到特解，所有的特解构成了零空间的基，特解的线性组合即构成了整个零空间。

简化行阶梯形
R=reduced row echelon form(rref)：主元变为1，主元上下都是0.这样的矩阵所包含的信息：

• 主行、主列
• 一个单位阵：主行和主列交汇处的元素
• 全0行：表示该行是其它行的线性组合
• $Ax=0 \longrightarrow Ux=0 \longrightarrow Rx=0$ 解越来越清晰明了

将矩阵R中的主元列和自由列分别放在一起形成单位矩阵I和自由列矩阵F。一个有趣的现象是：特解结果中，自由行中数字的相反数即特解中的主元值。
即 $R=\begin{bmatrix}I&F \\ 0&0 \end{bmatrix}$，且特解为$\begin{bmatrix}-F \\ I\end{bmatrix}$，$Ax=0$转化为：

$$\begin{bmatrix} I&F \\ 0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -F \\ I \end{bmatrix}=0$$
matlab中使用null(A,’r’)可以得到由rref方式得到的零空间的基向量。

重要结论：矩阵主列个数与其转置的主列个数相等！即矩阵的秩与其转置的秩相等

第八课时：求解Ax=b：可解性和解的结构

Ax=b可解必须满足的条件：

• b属于A的列空间
• 行的线性组合如果得到0向量，那么b中的元素相同组合也为0

二者等价。

求解方法：

• 先求特解，将所有的自由量设置为0，得到特解 $x_p$，满足 $Ax_p=b$
• 求解零空间的特解，得到零空间，记其中的向量为 $x_n$，满足 $Ax_n=0$
• 方程Ax=b的通解即为特解加上零空间的任意向量

因为 $Ax_p=b$，且 $Ax_p=b$，那么 $A(x_p+x_n)=0$。 对于方程的某个解，其与零空间内任意向量之和仍为解。

把这些解在空间中表示出来， $x_p$ 是一个非原点的点，$x_n$ 是一个子空间(穿过原点的直线、穿过原点的平面…)，那么 $x_p+x_n$ 的组合是一个不经过原点的平面、直线，不再是一个子空间。

例：

$$\begin{bmatrix} 1&2&2&2\\ 2&4&6&8\\ 3&6&8&10 \end{bmatrix}x= \begin{bmatrix} 1\\ 5\\ 6 \end{bmatrix}$$
经过消元后得到：
$$\begin{bmatrix} 1&2&0&-2\\ 0&0&1&2\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}x= \begin{bmatrix} -2\\ 3/2\\ 0 \end{bmatrix}$$
1). 令自由量 $x_2=x_4=0$，解得：$x_p=\begin{bmatrix}-2&0&3/2&0\end{bmatrix}^T$.
2). 现在求 $Ax=0$ 的零空间，令 $x_2=1,x_4=0$，解得：$x_{n1}=\begin{bmatrix}-2&1&0&0\end{bmatrix}^T$；令 $x_2=0,x_4=1$，解得：$x_{n2}=\begin{bmatrix}-2&0&-2&1\end{bmatrix}^T$.（也可由rref方式得到）
故通解为：
$$x_{complete}=\begin{bmatrix}-2\\ 0\\ 3/2\\ 0\end{bmatrix}+c_1\begin{bmatrix}-2\\ 1\\ 0\\ 0\end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix}2\\ 0\\ -2\\ 1\end{bmatrix}$$

秩与 $Ax=b$ 的解的关系
秩 r 的 $m\times n$ 的矩阵 $A$ 始终有：$r\leq m,r\leq n$.

1. 列满秩：$r=n$，各列线性无关(此时必有$n\leq m$)
   
   • 每列都有主元，没有自由变量
   • 零空间只有零向量，列的线性组合无法产生0向量
   • Ax=b的解：0个或者一个，如果有的话，那么唯一解是特解 $x_p$
   • 此时A的 rref 矩阵满足形式 $R=\begin{bmatrix}I\\ 0\end{bmatrix}$

2. 行满秩：$r=m$，各行线性无关(此时必有 $m\leq n$)

   • 每行都有一个主元，自由变量 n-r 个
   • 对任意的 $b$, $Ax=b$ 都有解，且有无穷多个解
   • 此时A的 rref 矩阵满足形式 $R=\begin{bmatrix}I& F\end{bmatrix}$

3. 满秩方阵，$r=m=n$，行向量、列向量 均线性无关

   • 零空间只含0向量
   • 对任意的b，$Ax=b$ 都有解，且唯一
   • 可逆矩阵
   • 此时A的rref矩阵为 $R=I$

总结：

A的秩	解的数量	解的情况
$r=m=n$	唯一解	列向量线性组合
$r=n<m$	无解或唯一解	若b在列空间中则有解
$r=m<n$	无穷多解	特解+零空间
$r<m,r<n$	无解或无穷多解	若b的行与列向量有相同组合关系则有无穷解，否则无解

第九课时：线性相关性、基、维数

线性相关性(Linear independence)：

• 如果矩阵 $A$ 的零空间中存在非零向量，那么各列线性相关。此时秩Rank(A)

生成空间(The space they span)：

向量组 $v_1,v_2,\cdots,v_n$ 生成了一个空间的意思是空间包含这些向量的线性组合。例如：矩阵的列生成列空间。

向量空间的基(basis)：

向量空间的一组基是指：
一系列的向量，$v_1,v_2,\cdots,v_d$，这些向量具有两大性质：
1）他们是线性无关的，可逆；
2）他们生成整个空间；
对于给定的 N 维空间，基向量的个数就是 N 个。向量空间的基不唯一，满足条件的向量组都可以是基向量。

维数(dimension)：

即基向量的个数，空间的大小

列空间的维数=主列的个数=矩阵的秩
注意：不是矩阵的维数

例如：矩阵 $A=\begin{bmatrix}1&2&3&1\\ 1&1&2&1\\ 1&2&3&1\end{bmatrix}，R=\begin{bmatrix}I&F\\ 0&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&1&1\\ 0&1&1&0\\ 0&0&0&0\end{bmatrix}$，它的列向量能生成列空间，但这些列向量不是 $R^3$ 基，它们是列空间的基，列空间的维数是2。

零空间的维数=自由列的个数=自由变量的数目。

已知矩阵 $A_{m\times n}$，秩为 r，那么自由变量为 n-r，即dim(N(A))=n-r. 注意只与矩阵的列数目有关，可见：

列空间的维数(r)+零空间的维数(n-r)=矩阵的列数(n)

第十课时：四个基本子空间

对于矩阵 $A_{m\times n}$，称列空间、零空间、行空间、左零空间为四个基本子空间，线性代数的核心内容就是研究四个基本空间及其关系。

零空间 $N(A)$

n 维向量，是 Ax=0 的解，所以 $N(A)$ 在 $R^n$ 里。

列空间 $C(A)$

列向量是 m 维的，所以 $C(A)$在 $R^m$ 里。

行空间 $C(A^T)$

A 的行的所有线性组合，即A转置的列的线性组合（因为我们不习惯处理行向量），$C(A^T)$ 在 $R^n$ 里。

A 的转置的零空间 $N(A^T)$ ——A的左零空间

$N(A^T)$ 在 $R^m$ 里

重要结论：

• 行空间和零空间在 $R^n$ 里，他们的维数加起来等于n，
• 列空间和左零空间在 $R^m$ 里，他们的维数加起来等于m
• 行空间的维数和列空间的维数相同，都等于秩的大小 r
• 零空间：主变量有 r 个，自由变量有 n-r 个，零空间的维数为 n-r
• 左零空间：维数为 m-r

换句话说：

• n 维空间中存在两个子空间，一个r 维的行空间，一个n-r 维的零空间，维数和为n；
• m 维空间中存在两个子空间，一个r 维的列空间，一个m-r 维的左零空间，维数和为m。

基的问题：

• 列空间：主列即为一组基
• 零空间：一组特解即为一组基
• 行空间：通过初等行变换成最简形式，rref形的前r行即为一组基

行变换不会对行空间产生影响，但会对列空间产生影响。

左零空间（A 转置的零空间）：为什么叫左零空间？
$A^Ty=0$，将等式左右两边都转置，得：$y^TA=0^T$，所以叫左零空间。求矩阵的左零空间，就试着寻找一个产生零行向量的行组合，求矩阵的零空间，就试着寻找一个产生零列向量的列组合。

第十一课时：矩阵空间、秩1矩阵

矩阵空间：

把 $R^n$ 的概念延伸至 $R^{n\times n}$，矩阵空间也是向量空间，它们仍对加法和数乘封闭。例如 3x3 矩阵的加法和数乘仍停留在 3x3 矩阵空间，它有一些子空间，如：3x3对称矩阵、3x3上三角矩阵。

普通矩阵M
3x3 矩阵的一组基有9个矩阵(分别令某个元素为1，其余为0)。实际上，这个空间与9维空间相同，只是9个数字写成了一个方阵。

对称矩阵S
3x3对称矩阵的一组基有6个矩阵，对角线三个元素和对角线以上的3 个元素分别为1 其余为0

上三角矩阵U
维数为6，一组一组基是：上三角的 6 个元素分别为1 其余为0.

对于其它子空间：
$S\cap U$：维数为3，只有对角线上的非0元素
$S+U$：维数为9，取S 内任一元素(矩阵)加上U 内任一元素(矩阵)即可
$S\cup U$：不构成子空间！

其它向量空间的例子：
微分方程 $\frac{d^2y}{dx^2}+y=0$，它的解空间(零空间)可以描述为：$y=c_1 \text{cos}x +c_2 \text{sin}x$，解空间的基为 $\text{cos}x$ 和 $\text{sin}x$，解空间的维度为 2.

秩 1 矩阵

所有秩1 的矩阵都可表示为一列乘以一行的形式：$A=UV^T$，U 是列向量，V 也是列向量。如 $\begin{bmatrix}1&4&5\\ 2&8&10\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\ 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&4&5\end{bmatrix}$
所有矩阵都可以表示为秩1矩阵的组合。如果有5×17的矩阵，秩为4，可以把这5×17的矩阵分解为4个秩1矩阵的组合。

秩1矩阵组成的集合是子空间吗？不是！

假设矩阵空间M 为所有5×17 的矩阵，一个由秩4 矩阵组成的子集，子集中两个矩阵相加结果很可能是一个秩5 矩阵；由秩1 矩阵组成的子集，相加结果很可能是一个秩2 矩阵。

$R^4$ 中的向量 $v=[v_1,v_2,v_3,v_4]^T$，假设 $S=\{v\in R^4|v_1+v_2+v_3+v_4=0\}$，那么 S 是子空间吗？是！

因为 S 中的向量对加法、数乘封闭。其实，$S$ 是矩阵 $A=\begin{bmatrix}1&1&1&1\end{bmatrix}$ 的零空间。A 是一个秩 1 矩阵，零空间的维数为 $n-r=4-1=3$.

A的行空间是一维空间，列空间也是一维空间；
A的左零空间是0维空间，没有任何向量，基是空集。

第十三课时：复习一

1. 已知：$Ax=\begin{bmatrix}2\\ 4\\ 2\end{bmatrix}$，$x=\begin{bmatrix}2\\ 0\\ 0\end{bmatrix}+c\begin{bmatrix}1\\ 1\\ 0\end{bmatrix}+d\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 1\end{bmatrix}$
   (1)求行空间的维数
   (2)矩阵A是什么样的
   答：
   (1) 首先，A是一个3x3的矩阵(因为b有三行，且x为三行)；其次，由解的结构可知，A的零空间的维数是2(两个零空间特解)，所以矩阵A的秩为1，即行空间的维数为1.
   (2) 由 $x_p=\begin{bmatrix}2&0&0\end{bmatrix}^T$，可知A的第一列为 $\begin{bmatrix}1&2&1\end{bmatrix}^T$；然后因为零空间中包含 $\begin{bmatrix}1&2&1\end{bmatrix}^T$，说明A的最后一列均为0；最后由零空间包含 $\begin{bmatrix}1&1&0\end{bmatrix}^T$，故第二列为$\begin{bmatrix}-1&-2&-1\end{bmatrix}^T$。即：
   

   $$A=\begin{bmatrix}1&-1&0\\ 2&-2&0\\ 1&-1&0\end{bmatrix}^T$$

2. 如果方阵的零空间只含零向量，那么它的转置的零空间也只包含零向量。

3. 如果方阵 $A$ 满足 $A^2=0$，那么是否可以推出 $A=0$？
   答案：不能。反例：

   $$\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}$$

4. 已知矩阵 $B=\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&0\\ 1&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&-1&2\\ 0&1&1&-1\\ 0&0&0&0\end{bmatrix}$.
   (1)B的零空间的基是什么？
   (2)求解 $Bx=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}$ 的通解。
   答：
   (1)左边是可逆矩阵，如果C是可逆矩阵的话，那么零空间N(CD)=N(D)，零空间不会因为C而改变。因此B的零空间等价于右边矩阵的零空间。一组基为：$\begin{bmatrix}1\\-1\\1\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\1\end{bmatrix}$
   (2)只需要求出一个特解即可。因为B的第一列和b是一样的，所以可以得到特解 $\begin{bmatrix}1&0&0&0\end{bmatrix}^T$. 加上(2)得到的零空间即可得到通解。

5. 判断：如果A和B的4个子空间相同，那么 $A=cB$，c为常数.
   答：错误. 反例：任意同阶的可逆方阵A和B的4个子空间都相同。

6. 如果交换一个矩阵中的两行，行空间和零空间不变，列空间和左零空间改变。

7. 为什么向量 $v=(1\,2\,3)$不能同时为一个矩阵的行向量和零空间的一个向量，即 v 为什么不能同时存在于行空间和零空间。行空间和零空间的交集只有零向量。实际上，零空间与行空间正交。