计算机科学和Python编程导论(三) 一些简单的数值程序

基本概念

1. 穷举法

穷举法：是猜测与检验算法的一个变种。我们枚举所有可能性，直至得到正确答案或者尝试完所有值。

#寻找完全立方数的立方根
x = int(input('Enter an integer: '))
ans = 0
while ans**3 < abs(x):
    ans = ans + 1
if ans**3 != abs(x):
    print(x, 'is not a perfect cube')
else:
    if x < 0:
        ans = -ans
    print('Cube root of', x,'is', ans)

那么，对于何种x值，程序能正常结束呢？答案是“所有整数”。
注：
1.表达式ans**3的值从0开始，并随着每次循环逐渐变大；
2.当这个值达到或超过abs(x)时，循环结束；
3.因为abs(x)的值总为正，所以循环结束前进行的迭代次数必然是有限的。编写循环时，应该使用一个合适的递减函数。这个函数具有如下属性：

1. 它可以将一组程序变量映射为一个整数；
2. 进入循环时，它的值是非负的；
3. 当它的值≤0时，循环结束；
4. 每次循环它的值都会减小。

2. for循环

for循环中常用到range()函数，因此先对它进行介绍：

1. range函数接受3个整数参数：start、stop和step。生成一个数列：start、start + step、start + 2*step，等等。
2. 如果step是正数，最后一个元素就是小于stop的最大整数start + i * step。如果step是负数，最后一个元素就是大于stop的最小整数start + i * step。
3. 数列中的数值是以“按需产生”的原则生成的，所以即使range(1000000)这样的表达式也只占用很少内存。

#寻找完全立方数的立方根
x = int(input('Enter an integer: '))
for ans in range(0, abs(x)+1):
    if ans**3 >= abs(x):
        break
if ans**3 != abs(x):
    print(x, 'is not a perfect cube')
else:
    if x < 0:
        ans = -ans
    print('Cube root of', x,'is', ans)

3. 近似解和二分查找

穷举法是一种查找技术，只在被查找集合中包含答案时才有效

#使用穷举法求近似平方根
x = 25
epsilon = 0.01
step = epsilon**2
numGuesses = 0
ans = 0.0
while abs(ans**2 - x) >= epsilon and ans <= x:
    ans += step
    numGuesses += 1
print('numGuesses =', numGuesses)

if abs(ans**2 - x) >= epsilon:
    print('Failed on square root of', x)
else:
    print(ans, 'is close to square root of', x)

二分查找法，可以提升查询效率

x = 25
epsilon = 0.01
numGuesses = 0
low = 0.0
high = max(1.0, x)
ans = (high + low)/2.0
while abs(ans**2 - x) >= epsilon:
    print('low =', low, 'high =', high, 'ans =', ans)
    numGuesses += 1
    if ans**2 < x:
        low = ans
    else:
        high = ans
    ans = (high + low)/2.0
print('numGuesses =', numGuesses)
print(ans, 'is close to square root of', x)

4. 关于浮点数

很多时候，float类型的数值是实数的一个非常好的近似。但“很多时候”并不代表所有情况，这个功能失效时会引起不可思议的后果。例如，试着运行以下代码：

x = 0.0
for i in range(10):
    x = x + 0.1
if x == 1.0:
    print(x, '= 1.0')
else:
    print(x, 'is not 1.0')
# 结果
0.9999999999999999 is not 1.0

为什么会出现这样的结果呢？

1. 其实这和二进制与十进制表示方式有关（python中二进制表示的0.1并不是真的等于十进制中0.1）。
2. 那Python中写作0.1的十进制分数1/10呢？若使用4位有效数字，最好的表示方式是(0011,-101)，等于3/32，也就是0.09375。如果有5位有效的二进制数字，可以将0.1表示成(11001, -1000)，等于25/256，也就是0.09765625。那么，需要多少位有效数字才能使用浮点数准确表示0.1呢？需要无穷位！不存在两个整数sig和exp，使sig × 2-exp = 0.1。所以无论Python（或任何一种语言）使用多少位有效数字表示浮点数，都只能表示0.1的一个近似值。
3. 所以将0.1相加10次真的不等于10乘以0.1的值

5. 牛顿－拉弗森法

牛顿－拉弗森法可以用于求单变量多项式的值，那么什么是单变量多项式？

单变量多项式或者是0，或者是一个有限数目的非零单项式的和。每一项都由一个常数（项的系数）乘以变量的非负整数次方（这里为2次方）组成。

牛顿－拉弗森法的原理：

逐次逼近；牛顿证明了一个定理：如果存在一个值guess是多项式p的根的近似值，那么guess -p(guess)/p’(guess)就是一个更好的近似值，其中p’是p的一次导数。

#利用牛顿.拉弗森法寻找平方根
#寻找x，满足x**2-24在epsilon和0之间
epsilon = 0.01
k = 24.0
guess = k/2.0
while abs(guess*guess - k) >= epsilon:
    guess = guess - (((guess**2) - k)/(2*guess))
print('Square root of', k, 'is about', guess)

编程练习

1.编写一个程序，要求用户输入一个整数，然后输出两个整数root和pwr，满足0 <pwr < 6，并且root**pwr等于用户输入的整数。如果不存在这样一对整数，则输出一条消息进行说明。

# 解法1
r = int(input('input an integer'))
root = 0
i = 0
for pwr in range(1, 7):
    result = -1
    while result < abs(r):
        root += 1
        result = root**pwr
    if result == abs(r):
        if r < 0:
            root = -root
        print('root:{},pwr:{}'.format(root, pwr))
        i += 1
    root = 0
print('总共有{}种输出结果'.format(i))

# 解法2
x=int(input('Enter an integer: '))
root=1
pwr=1
w=root**pwr
i=0
while w<abs(x) or root<=abs(x): 
    if pwr<6: 
        w=root**pwr
        if w==abs(x) and x<0:
            i+=1
            print('root','=',-root,'pwr','=',pwr)
        elif w==abs(x):
            i+=1
            print('root','=',root,'pwr','=',pwr)
        pwr+=1
    else:
        pwr=1
        root+=1
        w=root**pwr
print('符合条件的整数对共有{}种'.format(i))

2.假设s是包含多个小数的字符串，由逗号隔开，如s = '1.23, 2.4, 3.123'。编写一个程序，输出s中所有数值的和。

# 解法1
s = '1.23, 2.4, 3.123'
sum = 0.0
for i in map(lambda i: float(i), s.split(',')):
    sum += i
print(sum)

# 解法2
s = '1.23, 2.4, 3.123'
a=s.split(',')
t=0
for i in a:
    t=t+float(i)
print(t)

3.如果语句x = 25被替换为x = -25，代码会如何运行？

程序会进入无限循环

# 该程序while循环中，x值始终未变。则导致该循环条件（abs(ans**2 - x) >= epsilon）始终成立，程序进入无限循环中。
x = -25
epsilon = 0.01
numGuesses = 0
low = 0.0
high = max(1.0, x)
ans = (high + low)/2.0
while abs(ans**2 - x) >= epsilon: # 这一步永远不会停止
    print('low =', low, 'high =', high, 'ans =', ans)
    numGuesses += 1
    if ans**2 < x:
        low = ans
    else:
        high = ans
    ans = (high + low)/2.0
print('numGuesses =', numGuesses)
print(ans, 'is close to square root of', x)

4.如何修改图3-4中的代码，才能求出一个数的立方根？这个数既可以是正数，也可以是负数。（提示：修改low保证答案位于待查找区域。）

x = -30
epsilon = 0.01
numGuesses = 0
x_abs = abs(x)  # 关键代码
low = 0.0
high = max(1.0, x_abs)
ans = (high + low) / 2.0
while abs(ans**3 - x_abs) >= epsilon:
    numGuesses += 1
    if ans**3 < x_abs:
        low = ans
    else:
        high = ans
    ans = (high + low) / 2.0
print('numGuesses =', numGuesses)
if x < 0:
    print(-ans, 'is close to square root of', x)
else:
    print(ans, 'is close to square root of', x)

5.二进制数10011等于十进制中的哪个数？

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# 解法1 进制转换
# 解法2 函数求解
int('10011',base=2)

6.在牛顿.拉弗森法的实现中添加一些代码，跟踪求平方根所用的迭代次数。在这段代码的基础上编写一个程序，比较牛顿.拉弗森法和二分查找法的效率。

#利用牛顿.拉弗森法寻找平方根
#寻找x，满足x**2-24在epsilon和0之间
epsilon = 0.01
k = 24.0
guess = k/2.0
a=0
while abs(guess*guess - k) >= epsilon:
    guess = guess - (((guess**2) - k)/(2*guess))
    a+=1
print('Square root of', k, 'is about', guess)
print('牛顿法迭代次数={}'.format(a))

#利用二分查找法寻找平方根
#寻找x，满足x**2-24在epsilon和0之间
x = 24.0
epsilon = 0.01
numGuesses = 0
low = 0.0
high = max(1.0, x)
ans = (high + low)/2.0
b=0
while abs(ans**2 - x) >= epsilon:
    numGuesses += 1
    if ans**2 < x:
        low = ans
    else:
        high = ans
    ans = (high + low)/2.0
print(ans, 'is close to square root of', x)
print('二分法迭代次数 ={}'.format(numGuesses))

Square root of 24.0 is about 4.8989887432139305
牛顿法迭代次数=4
4.8984375 is close to square root of 24.0
二分法迭代次数 =9