|算法讨论|数论数学 学习笔记

模板及讲解

欧几里得算法

求gcd(a, b)，即a和b的最大公倍数
欧几里得算法：

$$gcd(a, b) = gcd(b, a \% b)$$

int gcd(int a, int b)
{
    if (b==0) return a;
    gcd(b, a%b);
}

---

求$ax+by=gcd(a,b)$的解$x,y$
扩展欧几里得算法：
已求出下一个状态一组解$x1,y1$使得$b\cdot x1+(a\% b) \cdot y1=gcd(a,b)$
由$a\%b=a-\lfloor \frac ab \rfloor\cdot b$,得
$b \cdot x1 +(a-\lfloor \frac ab \rfloor\cdot b) \cdot y1 = gcd(a,b)$
$b \cdot x1 + a \cdot y1 - b \cdot y1 \cdot \lfloor \frac ab \rfloor = gcd(a,b)$
$a \cdot y1 + b\cdot (x1-y1\cdot \lfloor \frac ab \rfloor)= gcd(a,b)$
对照$ax+by=gcd(a,b)$，可得
$x = y1, y= x1-y1\cdot \lfloor \frac ab\rfloor$
由欧几里得算法终止条件$a=gcd(a,b), b=0$得，$a*1+b*0=gcd(a,b)$
所以x,y的边界值是$1，0$
通解：

$$\left\{\begin{aligned} x = x0 + \frac {b}{gcd(a,b)}*t\\ y = y0 – \frac {a}{gcd(a,b)}*t \end{aligned}\right.$$

int egcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if (b==0)
    {
        x = 1;
        y = 0;//边界值
        return a;//求最大公倍数
    }
    int temp = x;
    int ans = egcd(b,a%b,x,y);
    x = y;
    y = temp-y*a/b;//公式计算
    return ans;
}

求不定方程$ax+by=c$的最小一组解$x,y$：
先求出$g = gcd(a,b)$
如果$c\%g≠0$,无解
否则，将不定方程两边同时除以$g$，得$a_1x+b_1y=c_1$
此时$gcd(a_1,b_1)=1$,可用扩展欧几里得算法求出$a_1x_1+b_1y_1=1$的解$x_1,y_1$
即$a_1x+b_1y=c_1$的一组解为$x1\cdot c1, y1\cdot c1$
求最小解可用一组特解模$b$即可得到

求a 关于 m 的乘法逆元
$ax\equiv 1\pmod n$
由同余性质得，$ax-1=ny$
变形，得 $ax-ny=1$，此时$gcd(a,n)$必须为$1$且只有唯一解, 否则无解
即可使用扩展欧几里得算法求解

中国剩余定理

设正整数$m_1,m_2,...,m_k$两两互素，则同余方程组

$$\begin{cases} x&\equiv&a_1&\pmod{m_1}\\ x&\equiv&a_2&\pmod{m_2}\\ &&&\vdots\\ x&\equiv&a_k&\pmod {m_k} \end{cases}$$
有整数解。并且在模$M = m_1 \cdot m_2 \cdot ...\cdot mk$下有唯一解，
解为
$$x \equiv (a_1M_1M_1^{-1}+a_2M_2M_2^{-1}+...+a_kM_kM_k^{-1}) \pmod M$$
其中$M_i= \frac M{m_i}，M_i^{-1}$是$M_i$模$m_i$下的逆元

解法：先$O(n)$的时间求出$M$，然后求出$M_i$, 用扩展欧几里得算法求出$M_i^{-1}$，根据公式进行计算

int crt(int n, int *a, int *m)
{
    int ans = 0;
    int M = 1;
    for (int i=1;i<=n;i++) M *= m[i];
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        int Mi = M/m[i];
        int x,y;
        e_gcd(Mi, m[i], x, y);//求Mi的逆元x
        ans = (ans + a[i]*Mi*x)%M;
    }
    return (ans+M)%M;
}

筛选法求质数

int vis[n];
int sx()
{
    int m = sqrt(n+0.5);
    ms(vis,0);
    for (int i=2;i<=n;i++)
    if (!vis[i]) for (int j=i*i;j<=n;j+=i) vis[j] = 1;
}

欧拉函数

给出n的唯一分解式 $n = p^{a1}_1p^{a2}_2p^{a3}_3...p^{ak}_k$ , 求出 $1，2，3...，n$ 中与n互素的数的个数

公式(容斥原理)：

$$\varphi(n) = \sum_{S\subseteq(p_1,p_2,...p_k)}(-1)^\left|s\right|\frac {n}{\prod_{p_i\subseteq S}p_i}$$
可变形为： $$\varphi(n) = n(1-\frac1{p_1})(1-\frac1{p_2})...(1-\frac1{p_k})$$
即可在$O(k)$的时间复杂度算出$\varphi(n)$

---

不给出唯一分解式求$\varphi(n)$：
根据变形的公式，可以枚举所有小于$\sqrt n$的因子，然后之后把他”除干净”即可

int phi(int n)
{  
    int ans = n;//ans为最后的答案
    int m = (int)sqrt(n+0.5);
    for (int i=2;i<=m;i++) if (n%i==0)
    {
        ans = ans/i*(i-1);//ans初值为n，因为1-(1/p) = (p-1)/p，由变形后公式可得
        while (n%i==0) n/=i;//除干净
    }
    if (n>1) ans = ans/n*(n-1);
    return ans;
}  

---

用筛选法在$O(nloglogn)$时间复杂度求1~n中所有数的欧拉phi函数值：

int phitable(int n, int* phi)
{
    for (int i=2;i<=n;i++) phi[i] = 0;
    phi[1] = 1;
    for (int i=2;i<=n;i++) if (!phi[i])
    for (int j=i;j<=n;j+=i)
    {
        if (!phi[j]) phi[j] = j;
        phi[j] = phi[j]/i*(i-1);
    }   
}

求正约数的个数

给出n的唯一分解式 $n = p^{a1}_1p^{a2}_2p^{a3}_3...p^{ak}_k$ , 求出 $n$ 的正约数的个数
根据乘法原理，$n$ 的正约数的个数为

$$\prod_{i=1}^{k}(a_i+1)$$

快速幂

int fastpow(int a,int b)
{  
    int ans=1,base=a;  
    while(b!=0){  
        if(b&1!=0)  
        ans*=base;  
        base*=base;  
        b>>=1;  
    }  
    return ans;  
}  

排列

一般地，从$n$个不同元素中取出$m(1≤m≤n)$个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从$n$个元素中取出$m$个元素的一个排列(顺序不同是不同的两种方案)
(约定$0!=1$)

1 无重排列
从$n$个不同元素中有序且不重复取出$k(1≤k≤n)$个元素，称为$n$个不同元素中取出$k$个元素的一个无重排序，简称k-排列，所有这样的排列个数记为$A^{k}_{n}$

$$A^{k}_{n} = \frac{n!}{(n-k)!}$$
2 全排列
(1) 无重
当k-排列中的$k=n$时
$$A^n_n=n!$$

3 重复排列
从$n$个不同元素中有序且可重复取出$k(1≤k≤n)$个元素，称为$n$个不同元素中取出$m$个元素的一个无重排序，简称k-可重排列
重复排列个数为

$$n^k$$

4 圆周排列
从$n$个不同元素中无重复地取出$k(1≤k≤n)$个元素排在一个圆周上，称为$n$个不同元素的一个圆周排列，简称k-圆排列
圆周排列个数为

$$\frac{P^k_n}{k} = \frac{n!}{k\cdot(n-k)!}$$

组合

一般地，从$n$个不同元素中取出$m(1≤m≤n)$个元素组成一组，叫做从$n$个元素中取出$m$个元素的一个组合(顺序不同是相同的两种方案)
(约定$0!=1$)

1 无重组合
从$n$个不同元素中无序且不重复取出$k(1≤k≤n)$个元素，称为$n$个不同元素中取出$k$个元素的一个无重组合，简称k-组合，所有这样的排列个数记为$C^{k}_{n}$

$$C^{k}_{n} = \frac{A^k_n}{k!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

2 重复组合
从$n$个不同元素中无序但可重复取出$k(1≤k≤n)$个元素，称为$n$个不同元素中取出$k$个元素的一个重复组合，简称k-可重组合
重复组合个数为

$$C^{k}_{n+k-1}=\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}$$

概率

1 数学期望

随机变量$X$的数学期望$E(X)$就是所有可能值按照概率加权的和。

$$E(X)=\sum_{i=1}^nx_ip_i$$