POJ1191《棋盘分割》动态规划

最新推荐文章于 2021-01-16 13:53:47 发布

原创最新推荐文章于 2021-01-16 13:53:47 发布 · 576 阅读

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本文针对NOI1999的棋盘分割问题，详细介绍了如何通过动态规划求解最小方差的切割方案。首先对问题进行数学变形简化，接着定义状态转移方程，并给出具体实现代码。

题目链接：http://poj.org/problem?id=1191 NOI 1999

在看黑书（算法艺术与信息学竞赛）时，看到了这道题，之后在POJ上成功AC，以下写出我的题解。

题目分析：因为方差公式比较复杂，可先将其变形，变形计算如下图：（本人手写，不喜勿喷。）

由于平均值是一定的，所以只需要让每个矩形的总分的平方和最小。设左上角为(x1,y1)，右下角为(x2,y2)的矩形中总和为s[x1][y1][x2][y2]，次矩形切割k次得到k+1块矩形的总平方和的最小值为d[k][x1][y1][x2][y2]，则它可以沿着横着切也可以沿着竖着切，然后选一块继续切，状态转移方程为：

d[k][x1][y1][x2][y2]=min{

min(min(d[k-1][x1][y1][cut][y2]+s[cut+1][y1][x2][y2],d[k-1][cut+1][y1][x2][y2]+s[x1][y1][cut][y2]),d[k][x1][y1][x2][y2]),（x1<=cut<x2）

min(min(d[k-1][x1][y1][x2][cut]+s[x1][cut+1][x2][y2],d[k-1][x1][cut+1][x2][y2]+s[x1][y1][x2][cut]),d[k][x1][y1][x2][y2]);（y1<=cut<y2）

}

设m为棋盘边长，则状态数目为(m^4)*n，决策数目为O(m)，预处理先用O(m*m)，时间算出左上角为(1,1)的所有矩阵元素和，这样状态转移的时间就是O(1)，故总的时间复杂度为O((m^5)*n)。由于m=8，n<=15，所以这个方法很高效。

代码如下：

<span style="font-size:14px;">/*2014.8.25   POJ1191《棋盘分割》  程序猿：卢裕东*/
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const double maxn=999999999;
int N,map[10][10];
double average,total=0,ans;
double s[10][10][10][10],dp[20][10][10][10][10];//dp[k][x1][y1][x2][y2]表示切割k次之后左上角为(x1,y1)，右下角为(x2,y2)的矩形的总分平方和的最小值。
inline double min(double a,double b)
{
	return a<b?a:b;
}
void init()
{
	scanf("%d",&N);
	for(int i=0;i<8;i++)
		for(int j=0;j<8;j++)
		{
			scanf("%d",&map[i][j]);
			total+=map[i][j];
		}
	average=total/(N*1.0);
}
void Preprocessing()
{
	for(int x1=0;x1<8;x1++)
		for(int y1=0;y1<8;y1++)
			for(int x2=x1;x2<8;x2++)
			{
				total=0;
				for(int y2=y1;y2<8;y2++)
				{
					total+=map[x2][y2];
					if(x2==x1) s[x1][y1][x2][y2]=total;
					else s[x1][y1][x2][y2]=total+s[x1][y1][x2-1][y2];
				}
			}
}
void DP_initialize()
{
	for(int x1=0;x1<8;x1++)
        for(int y1=0;y1<8;y1++)
            for(int x2=x1;x2<8;x2++)
                for(int y2=y1;y2<8;y2++)//此处四重循环就是将前面的和值转化为平方然后赋值给DP数组
                {  
                    s[x1][y1][x2][y2]*=s[x1][y1][x2][y2];
                    dp[0][x1][y1][x2][y2]=s[x1][y1][x2][y2];
                }
}
void DP()
{
	for(int k=1;k<N;k++)//切割成N个矩形需要k-1次切割。
        for(int x1=0;x1<8;x1++)
            for(int y1=0;y1<8;y1++)
                for(int x2=x1;x2<8;x2++)
                    for(int y2=y1;y2<8;y2++)
                    {
                        dp[k][x1][y1][x2][y2]=maxn;
                        double temp;
                        for(int cut=x1;cut<x2;cut++)//竖着枚举分割线
                        {  
                            temp=min(dp[k-1][x1][y1][cut][y2]+s[cut+1][y1][x2][y2],dp[k-1][cut+1][y1][x2][y2]+s[x1][y1][cut][y2]);
                            dp[k][x1][y1][x2][y2]=min(temp,dp[k][x1][y1][x2][y2]);
                        }
                        for(int cut=y1;cut<y2;cut++)//横着枚举分割线
						{
                            temp=min(dp[k-1][x1][y1][x2][cut]+s[x1][cut+1][x2][y2],dp[k-1][x1][cut+1][x2][y2]+s[x1][y1][x2][cut]);
                            dp[k][x1][y1][x2][y2]=min(temp,dp[k][x1][y1][x2][y2]);
                        }//经过横着和竖着枚举分割线得出最优进行记录
                    }
	ans=(dp[N-1][0][0][7][7])/(N*1.0)-average*average;
	printf("%.3lf\n",sqrt(ans));
}
int main()
{
	init();
	Preprocessing();
	DP_initialize();
	DP();
	return 0;
}</span>

如此可AC！