BSGS及其扩展

BSGS及其扩展

BSGS（大步小步算法）

BSGS是一种用于求解$a^x\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$(a,b,m$已知且$gcd(a,p)=1)$，时间复杂度为$O(\sqrt{p})$
其实还是有点暴力
我们考虑令$x=im-k,0\le k<m$
那么$a^{im-k}\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$
$\Rightarrow a^{im}\equiv b{a}^k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$
那么我们可以枚举$k\in [0,m)$，计算出右边的值，再用unordered_map存下来
接着枚举$i\in [0,\lceil \frac{p}{m}\rceil ]$，计算出左边，再用unordered_map查询之前是否存储过该值
如果有，那么答案就是$im-k$,反之无解
那么复杂度为$O(max(m,\frac{p}{m}))$，显然当$m=\lceil \sqrt{p}\rceil$时，最优

但是我们此时所求的$x$都是在$[1,p]$的范围，那么能保证最小的x一定满足在该区间中吗?
答案是肯定的，因为$gcd(a,p)=1$,所以由欧拉定理推论可得$a^k\equiv a^{k\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\varphi (p)}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$
因此如果有解,那么一定满足$x<\varphi (p)<p$

exBSGS

如果上面的问题中，$gcd(a,p)\ne 1$,那么该怎么解决呢？

还是考虑将原同余式转换为方程式：
$\Rightarrow$$a^x+kp=b$
设$d=gcd(a,p)$
那么根据裴蜀定理，当$d|b$时，原同余式有解，反之无解
于是上面的式子就转化为了：
$\Rightarrow a^{x-1}\ast \frac{a}{d}+\frac{kp}{d}=\frac{p}{d}$
那么就这样一直递归下去，直到$gcd(a,p)=1$

假设当前递归了$cnt$次，且此时$gcd(a,p)=1$
设这$cnt$次递归$d$的乘积为$M$,那么就有
$\Rightarrow a^{x-cnt}\ast \frac{a^{cnt}}{M}+\frac{b}{M}=\frac{p}{M}$
那么再令$a^{\prime }=a,b^{\prime }=\frac{b}{M},p^{\prime }=\frac{p}{M}$
再代入BSGS即可，但是要乘上一个$\frac{a^{cnt}}{M}$的系数(BSGS是可以带系数的)
最后答案再加上$cnt$即可

例题

P3846-BSGS模板

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
map<int,int>M;
int read(){
	int f=1,re=0;char ch;
	for(ch=getchar();!isdigit(ch)&&ch!='-';ch=getchar());
	if(ch=='-'){f=-1,ch=getchar();}
	for(;isdigit(ch);ch=getchar()) re=(re<<3)+(re<<1)+ch-'0';
	return re*f;
}
int ksm(int a,int b,int mod){
	int ans=1;
	while(b){
		if(b&1) ans=ans*a%mod;
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}return ans;
}
int qmul(int a,int b,int mod){
	int ans=0;
	while(b){
		if(b&1) ans=(ans+a)%mod;
		a=(a+a)%mod;
		b>>=1;
	}return ans;
}
void bsgs(int mod,int x,int y){
	int m=sqrt(mod)+1,s=y;
	for(int i=0;i<m;i++){
		M[s]=i;
		s=qmul(s,x,mod);
	}s=1;int t=ksm(x,m,mod);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		s=qmul(t,s,mod);
		if(M.count(s)){printf("%lld\n",i*m-M[s]);return;}
	}printf("no solution\n");
	return;
}
signed main(){
	int p=read(),b=read(),n=read();
	bsgs(p,b,n);
	return 0;
} 

P4195-exBSGS模板

注意unordered_map的用法

#include<bits/stdc++.h>
#include <tr1/unordered_map>
#define int long long
using namespace std;
std::tr1::unordered_map<int,int>M;
int read(){
	int f=1,re=0;char ch;
	for(ch=getchar();!isdigit(ch)&&ch!='-';ch=getchar());
	if(ch=='-'){f=-1,ch=getchar();}
	for(;isdigit(ch);ch=getchar()) re=(re<<3)+(re<<1)+ch-'0';
	return re*f;
}
int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
int ksm(int a,int b,int mod){
	int ans=1;
	while(b){
		if(b&1) ans=ans*a%mod;
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}return ans;
}
int qmul(int a,int b,int mod){
	int ans=0;
	while(b){
		if(b&1) ans=(ans+a)%mod;
		a=(a+a)%mod;
		b>>=1;
	}return ans;
}
int bsgs(int a,int b,int p,int ad){//ad是系数
	M.clear();
	int m=sqrt(p)+1,s=1;
	for(int i=0;i<m;i++,s=s*a%p) M[s*b%p]=i;
	for(int i=0,tmp=s,s=ad;i<=m;i++,s=s*tmp%p)
		if(M.find(s)!=M.end())
			if(i*m-M[s]>=0) return i*m-M[s];
	return -1; 
}
int exbsgs(int a,int b,int p){
	a%=p,b%=p;//先模一次p
	if(b==1||p==1) return 0;//特判
	int d,ad=1,cnt=0;//注意初值
	while((d=gcd(a,p))^1){
		if(b%d) return -1;//无解，直接返回
		cnt++,b/=d,p/=d;
		ad=ad*(a/d)%p;
		if(ad==b) return cnt;//已经满足，直接返回cnt
	}int ans=bsgs(a,b,p,ad);
	if(ans<0) return -1;
	else return ans+cnt;
}
signed main(){
	int a=read(),p=read(),b=read();
	while(p&&b&&a){
		int ans=exbsgs(a,b,p);
		if(ans<0) printf("No Solution\n");
		else printf("%lld\n",ans);
		a=read(),p=read(),b=read(); 
	}return 0;
}