学姐的逛街计划-最大费用最大流，线性规划

学姐的逛街计划-最大费用最大流，线性规划

题目描述

题解

设第$i$天是否去逛街为$a[i]$，$c[i]$表示第i天的智商，$a[i]=1$表示去逛街，$a[i]=0$表示不去
则可得$2n$个不等式
$a[1]+a[2]+...+a[n]<=k$
$a[2]+a[3]+...+a[n+1]<=k$
$...$
$a[2n+1]+....+a[3n]<=k$
求$c[1]\ast a[1]+c[2]\ast a[2]+...+c[3n]\ast a[3n]$的最大值
添加一个辅助变量
$a[1]+a[2]+...+a[n]+y[1]=k$
$a[2]+a[3]+...+a[n+1]+y[2]=k$
$...$
$a[2n+1]+....+a[3n]+y[2n+1]=k$
$0<=y[i]<=k$
将上述不等式相邻两个相减
$y[1]+a[1]=a[n+1]+y[2]---(1)$
$y[2]+a[2]=a[n+2]+y[3]---(2)$
$......$
$y[n+1]+a[n+1]=a[2n+1]+y[n+2]---(n+1)$
$......$
$y[2n]+a[2n]=a[3n]+y[2n+1]---(2n)$
根据网络中每个节点流入量等于流出量的性质
将上述等式编号并抽象成网络中的点，变量a[i]和y[i]抽象为网络中的有向边（弧）
问题等价于求最大费用最大流
以$a[n+1]$为例 可以看成是节点1部分流出量和节点$n+1$的部分流入量于是可以建边从$n+1$到$1$
故根据这些等式可以建图
设源点为$0$，汇点为$2n+3$
$i$到n+i连一条弧，流量上限为$1$(因为变量a的取值为1或0)，费用为$c[n+i]$,$1<=i<=n$(针对变量$a$)
$i$到$i+1$连一条弧，流量上限为$k$（因为变量y满足$0<=y<=k$），费用为$0$,$1<=i<=2n-1$（针对变量$y$）
这时发现题目的$k$还没用上，
于是发现上述等式成立必需满足这两个等式
$a[1]+a[2]+...+a[n]+y[1]=k---(n+1)$
$a[2n+1]+....+a[3n]+y[2n+1]=k---(2n+2)$
于是建一个节点$2n+1$
为了满足$2n+1$式
则由源点向节点2n+1连一条流量上限为$k$的边，费用为0。
由节点$2n+1$向i连一条流量上限为$1$的边，费用为$c[i]$，$1<=i<=n$
由$源点$向$2n+1$连一条流量上限为$k$的边，费用为$0$
同理建一个节点$2n+2$
为了满足$2n+2$式
则由节点$2n+2$向汇点连一条流量上限为$k$的边，费用为$0$。
由节点i向$2n+2$连一条流量上限为$1$的边，费用为$c[i]$ $n+1<=i<=2n$
建图完毕，剩下就是套算法。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define M 200009
using namespace std;
const int inf=1e9+7; 
int nxt[M],to[M],f[M],w[M],first[M],tot=1;
int vis[M],d[M],now[M],n,m,ret,a[M],k,T;
void add(int x,int y,int z,int v){
	nxt[++tot]=first[x],first[x]=tot,to[tot]=y,w[tot]=z,f[tot]=v;
	nxt[++tot]=first[y],first[y]=tot,to[tot]=x,w[tot]=0,f[tot]=-v;
} 
bool bfs(){
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	for(int i=0;i<=T;i++) d[i]=-1;
	queue<int>q;
	d[T]=0,vis[T]=1;
	q.push(T),now[T]=first[T];
	while(q.size()){
		int u=q.front();
		q.pop(),vis[u]=0;
		for(int i=first[u];i;i=nxt[i]){
			int v=to[i];
			if(w[i^1]&&d[v]<d[u]+f[i^1]){
				d[v]=d[u]+f[i^1];
				now[v]=first[v];
				if(!vis[v]) q.push(v),vis[v]=1;
			}
		}
	}return d[0]!=-1;
}
int dfs(int x,int flow){
	if(x==T) return flow;
	int rest=flow,i;
	vis[x]=1;
	for(i=now[x];i&&rest;i=nxt[i]){
		int v=to[i];
		if(!vis[v]&&w[i]&&d[v]==d[x]-f[i]){
			int k=dfs(v,min(rest,w[i]));
			if(k==0){d[v]=0;continue;}
			w[i]-=k,w[i^1]+=k,rest-=k,ret+=k*f[i];
		}
	}vis[x]=0,now[x]=i;
	return flow-rest;
}
void build(){
	for(int i=1;i<=n;i++) add(i,i+n,1,a[i+n]);
	for(int i=1;i<=2*n-1;i++) add(i,i+1,k,0);
	for(int i=1;i<=n;i++) add(2*n+1,i,1,a[i]);
	for(int i=n+1;i<=2*n;i++) add(i,2*n+2,1,a[i+n]);
	add(0,2*n+1,k,0),add(2*n+2,T,k,0);
} 
int zkw(){
	int ans=0,fl=0;
	while(bfs()){
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		while(fl=dfs(0,inf)) ans+=fl;
	}return ret;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&k),T=2*n+3;
	for(int i=1;i<=3*n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	build();
	printf("%d\n",zkw());
	return 0; 
} 

做题启发

1，对于多个不等式，可以引用辅助变量（如变量y）
2，对于在等式左右两边分别出现过的变量，根据网络中每个节点流入量等于流出量的性质，可以考略用网络流建模做