2-SAT

2-SAT

概念

SAT是适定性(Satisfiability)问题的简称 。一般形式为k-适定性问题，简称 $k-SAT$。
可以证明，当$k>2$时，$k-SAT$是NP完全的。因此一般讨论的是$k=2$的情况，即$2-SAT$问题。

我们通俗的说，就是给你$n$个变量$a_i$，每个变量能且只能取$0/1$的值。同时给出若干条件，形式诸如($not)a_{i}opt(not)a_j=0/1$，其中$opt$表示$and,or,xor$中的一种

而求解2-SAT的解就是求出满足所有限制的一组$a$

解法

首先我们考虑将$2-SAT$问题往图论的方向靠，我们发现每个点要么取$0$，要么取$1$。因此对于$a_i$，我们建两个点$2i-1$与$2i$分别表示$a_i$取$0$和$1$

然后我们考虑建边来表示这些关系，我们令一条有向边的意义：$x\to y$表示如果选择了$x$就必须选$y$

那么我们可以举一些简单的例子来总结下连边的规律（用$i\prime$表示$i$的反面）：

$i,j$不能同时选：选了$i$就要选$j\prime$，选$j$就要选$i\prime$。故$i\to j\prime ,j\to i\prime$。一般操作即为$a_{i}xor{a}_j=1$
$i,j$必须同时选：选了$i$就要选$j$，选$j$就要选$i$。故$i\to j,j\to i$。一般操作即为$a_{i}xor{a}_j=0$
$i,j$任选（但至少选一个）选一个：选了$i$就要选$j\prime$，选$j$就要选$i\prime$，选$i\prime$就要选$j$，选$j\prime$就要选$i$。故$i\to j\prime ,j\to i\prime ,i\prime \to j,j\prime \to i$一般操作即为$a_{i}or{a}_j=1$
i必须选：直接i′→i，可以保证无论怎样都选$i$。一般操作为给出的$a_i=1$或$a_{i}and{a}_j=1$
建好图然后就是考虑怎么用图论的方式解决$2-SAT$了。

一，显然，$DFS$；
1，对于每个当前不确定的变量$a_i$，令$a_i=0$然后沿着边$DFS$访问相连的点。
2，检查如果会导致任意一个j与j′都被选，那么撤销。否则令$a_i=0$
3，否则令$a_i=1$，重复$2$。如果还不行就无解。
4，继续考虑下一个不确定的变量

这样的话正确性显然，由于这里的$DFS$涉及到全局，因此复杂度是$O(n(n+m))$的。
一般情况下已经很优秀了，而且还可以改进：
只需要在DFS之前判断i′能否走到i就可以省略撤销标记的过程，所以我们可以bitset优化传递闭包做到$O(n^3/w)$预处理，然后就可以$O(n+m)$的DFS了。

这种做法还可以保证解的字典序，有时不失为一种不错的方法。

二，连通分量
考虑我们上面的判断有无解的情况，我们想到完全可以借助SCC来判断两个点是否互相到达。
那么我们先缩点，如果$i$与$i\prime$在同一SCC里那么显然无解。
否则选择$i$与$i\prime$中拓扑序较大的一个就可以得到一组可行解。
不是很常用（主要是一般题目的数据范围都不需要），用来判可行性比较好。

代码实现（模板题：SCC）

#include<bits/stdc++.h>
#define M 4000009 
using namespace std;
int nxt[M],first[M],to[M],_first[M],_nxt[M],_to[M],tot;
int n,m,vis[M],turn[M],cnt,bel[M];
int read(){
	char ch;
	int f=1,re=0;
	for(ch=getchar();!isdigit(ch)&&ch!='-';ch=getchar());
	if(ch=='-'){f=-1,ch=getchar();}
	for(;isdigit(ch);ch=getchar()) re=(re<<3)+(re<<1)+ch-'0';
	return re*f;
}
void add(int x,int y){
	nxt[++tot]=first[x],first[x]=tot,to[tot]=y;
	_nxt[++tot]=_first[y],_first[y]=tot,_to[tot]=x;
}
void dfs1(int u){
	vis[u]=1;
	for(int i=first[u];i;i=nxt[i]){
		int v=to[i];
		if(!vis[v]) dfs1(v);
	}turn[++cnt]=u;
}
void dfs2(int u){
	bel[u]=cnt,vis[u]=1;
	for(int i=_first[u];i;i=_nxt[i]){
		int v=_to[i];
		if(!vis[v]) dfs2(v);
	}
}
void solve(){//Kosaraju算法：一种找强连通分量的算法 
	for(int i=1;i<=n*2;i++) if(!vis[i]) dfs1(i);
	memset(vis,0,sizeof(vis)),cnt=0;
	for(int i=2*n;i>=1;i--) if(!vis[turn[i]]) cnt++,dfs2(turn[i]);
}
int main(){
	int x,y,fx,fy;
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=m;i++){
		x=read(),fx=read(),y=read(),fy=read();
		add(x+n*(fx&1),y+n*(fy^1));
		add(y+n*(fy&1),x+n*(fx^1));
	}solve();
	for(int i=1;i<=n;i++) if(bel[i]==bel[i+n]){printf("IMPOSSIBLE\n");return 0;}
	printf("POSSIBLE\n");
	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",bel[i]>bel[i+n]);
	return 0;
} 

//Kosaraju算法：一种找强连通分量的算法 

例题

HDU3062
HDU1814
HDU3062
HDU1814
洛谷P3007