191114-差分

191114-差分

定义

对于一个给定的序列A，它的差分序列B定义为：$B_1=A_1,B_i=A_i-A_{i-1}(2\le i\le n)$

性质

1，容易发现，前缀和与差分是一对互逆运算，前缀和序列的差分序列就是原序列，差分序列的前缀和序列就是原序列

2，把A序列中$[l,r]$中的数加d，那么其实就可以转换为差分序列中，$B_i$加d，$B_{r+1}$减d，因此可以将区间修改操作，转换为单点操作

例题

T1 Tallest Cow

解析

因为要求每头牛可能的最大高度，因此对于每一个给出的关系a，b，我们将区间$[a+1,b-1]$区间都减一即可，于是我们考虑用一个d数组来维护差分序列即可，最后直接求差分序列的前缀和即可，并且加上身高最高的牛的身高

需要注意的是，关系可能会给重，因此用一个map来维护一下

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define M 10009
using namespace std;
int d[M],c[M],cur,h,q,n,l,r;
map<pair<int,int>,bool>qrx;
int main(){
	scanf("%d%d%d%d",&n,&cur,&h,&q);
	for(int i=1;i<=q;i++){
		scanf("%d%d",&l,&r);
		if(l>r) swap(l,r);
		if(qrx[make_pair(l,r)]) continue;
		d[l+1]--,d[r]++;
		qrx[make_pair(l,r)]=1; 
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		c[i]=c[i-1]+d[i];
		printf("%d\n",c[i]+h);
	}
	return 0;
}

T2 incdec sequence

解析

首先我们考虑，如果一个序列都相等，那么会有什么性质，显然它的差分序列，$b_2,b_3...b_n$都应为0，因此我们将该序列的差分序列处理出来，因为每次都是对原序列进行区间修改操作，因此每次操作对应到差分序列上来，就是一个数$+1$，一个数$-1$，那么我们求出差分序列（下标为$2-n$）中的正数之和$p$和负数之和$q$

然后考虑贪心，首先将所有b数组全部变为非负或非正，所需要的操作数即$min(p,q)$，然后将剩下的非0b数组，与$b_1,b_n+1$,操作即可，因此所需要的操作数为$|p-q|$，两次相加即为$max(p,q)$，然后可能的数列，即为$b_1$的值的种类，即为$|p-q|+1$

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define M 100009
#define int long long
using namespace std;
int sum1,sum2,b[M],a[M],n;
int read(){
	int f=1,re=0;
	char ch;
	for(ch=getchar();!isdigit(ch)&&ch!='-';ch=getchar());
	if(ch=='-'){
		f=-1;
		ch=getchar();
	}
	for(;isdigit(ch);ch=getchar())
		re=(re<<3)+(re<<1)+ch-'0';
	return re*f;
}
signed main(){
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a[i]=read();
		b[i]=a[i]-a[i-1];
		if(b[i]>0&&i!=1) sum1+=b[i];
		if(b[i]<0&&i!=1) sum2-=b[i];
	}
	printf("%lld\n",max(sum1,sum2));
	printf("%lld",abs(sum1-sum2)+1);
	return 0;
}