Math Reference Notes: 有理根定理

有理根定理是一种快速判断多项式方程可能有的有理数根的方法。它的主要作用是提供一个有限的列表，列出一个整系数多项式可能的有理根，然后通过验证筛选真正的根。

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1. 定理的陈述

对于一个整系数多项式方程：
$$P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0=0$$
如果它有一个有理数根 $r=\frac{p}{q}$（其中 $p$ 和 $q$ 为整数，且 $\gcd (p,q)=1$），那么：

1. $p$ 是常数项 $a_0$ 的一个因数；
2. $q$ 是最高次项系数 $a_n$ 的一个因数。

2. 如何使用有理根定理

1. 写出常数项 $a_0$ 的所有整数因数（包括正负号）。
2. 写出最高次项系数 $a_n$ 的所有整数因数（包括正负号）。
3. 列出所有可能的有理根，形式为：
   $$r=\pm \frac{\text{常数项的因数}}{\text{最高次项系数的因数}}$$
4. 逐一代入原方程验证，找到实际的根。

3. 示例

考虑多项式：
$$P(x)=2x^3-3x^2-2x+1$$

1. 常数项 $a_0=1$，其因数为 $\pm 1$。
2. 最高次项系数 $a_n=2$，其因数为 $\pm 1,\pm 2$。
3. 可能的有理根：
   $$r=\pm \frac{\text{常数项因数}}{\text{最高次项系数因数}}=\pm 1,\pm \frac{1}{2}$$
4. 验证：
   • 代入 $x=1$，得：
     $$P(1)=2(1{)}^3-3(1{)}^2-2(1)+1=-2\ne 0$$
     所以 $x=1$ 不是根。
   • 代入 $x=-1$，得：
     $$P(-1)=2(-1{)}^3-3(-1{)}^2-2(-1)+1=0$$
     所以 $x=-1$ 是一个根。

4. 总结

有理根定理帮助我们迅速列出一个多项式可能的有理数根，避免盲目尝试。不过，它只能找到有理数根，对于无理数或复数根无能为力，需要其他方法来处理。