【NeuIPS 2023】《Operator Learning with Neural Fields: Tackling PDEs on General Geometries》

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Author：Sorbonne University

1）动机

$\quad$ 物理动力学建模需要学习函数空间之间的映射，这是描述和求解偏微分方程（PDEs）的关键步骤。在经典的方法中，偏微分方程由第一性原理导出，并利用微分算子来映射问题中涉及的变量的vector field。为了求解这些方程，需要采用了有限元、有限体积或光谱技术等数值方法，需要离散微分算子的空间和时间分量。
$\quad$ 基于计算机视觉和自然语言处理方面的成功，深度学习模型最近在物理建模中得到了关注。他们被应用于许多场景。最初，具有空间归纳偏差的神经网络结构，如用于regular grids的ConvNets和用于irregular meshes的GNN被探索。但是，些模型仅限于特定的mesh points，在推广到新的topologies时面临挑战（就是泛化性不好）。
$\quad$ The recent trend of neural operators解决了这些限制，通过建模一个在有限维函数空间之间的映射。Popular models like DeepONet 和 FNO 已经被应用于多个领域。但是，它们仍然有design rigidity，在训练和推理过程中依赖于固定的网格，这限制了他们在现实应用中的使用，比如irregular sampling grids和new geometries。《Fourier Neural Operator with Learned Deformations for PDEs on General Geomet