欧几里得和扩展欧几里得算法分析

参考自：百度百科

见以下代码：

int gcd(int x,int y){
    if(y) return gcd(y,x%y);
    return x;
}

欧几里得算法很容易理解，同辗转相除法。

那么重点是扩展欧几里得(EX_GCD):

简单而言扩展欧几里得算法就是一种求二元一次方程(Ax+By=C)的一种方法:

在此我们先讨论最原始的情况：Ax+By=gcd(A,B);

原理：

设 a>b。

1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

2，a>b>0 时

设 ax1+ by1= gcd(a,b);

bx2+ (a mod b)y2= gcd(b,a mod b);

根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);

则:ax1+ by1= bx2+ (a mod b)y2;

即:ax1+ by1= bx2+ (a - [a / b] * b)y2=ay2+ bx2- [a / b] * by2;

也就是ax1+ by1 == ay2+ b(x2- [a / b] *y2);

根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2- [a / b] *y2;

这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

模板：

void Ex_gcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if(b == 0)//递归出口
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return;
    }
    int x1, y1;
    Ex_gcd(b, a%b, x1, y1);
    x = y1;
    y = x1-(a/b)*y1;
}

上面已经列出找一个整数解的方法，在找到Ax+By = Gcd(A, B)的一组解x0,y0后，Ax+By = Gcd(A, B)的其他整数解满足：

x = x0 + B/Gcd(A, B) * t
y = y0 - A/Gcd(A, B) * t(其中t为任意整数)

明白了原始的Ax+By=gcd(A,B)情况，我们可以扩展到一般的情况，即

Ax+By=C

对于Ax+By=c的整数解，只需将Ax+By = Gcd(A, B)的每个解乘上 C/Gcd(A, B) 即可，但是所得解并不是该方程的所有解，找其所有解的方法如下：
在找到Ax+By= Gcd(A, B)的一组解x0,y0后，可以
得到Ax+By = C的一组解x1 = x0*(C/Gcd(A,B)),y1 = y0*(C/Gcd(A,B))，Ax+By = C的其他整数解满足：

x = x1 + B/Gcd(A, B) * t
y = y1 - A/Gcd(A, B) * t(其中t为任意整数)

y就是Ax+By=C的所有整数解。