「NOI2015」寿司晚宴-数论,DP

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算法——DP

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本文介绍了一种算法，用于解决将2-n的数划分成两个互质集合的问题，并提供了详细的实现思路与C++代码示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Decription

求将 $2-n$ 的数划分成两个集合(有的数可以不用)的满足条件方案数。

条件是两个集合中的数互质。

$n \leqslant 500$

Solution

考虑 $n \leqslant 20$ 的情况，这时候总共只有 $8$ 个质数，所以可以状压两个集合所包含的素数集合，每次枚举这个数被谁选择即可。

对于 $n \leqslant 500$ ,质数太多，无法状压，但是每个数最多只会有一个 $\geqslant \sqrt n$ 的质因子，所以对于一段最大质因子为 $p$ 的数( $p \geqslant \sqrt n$ )，要么划分进一个集合，要么都不选。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 505;
int n, mod, f[1 << 8][1 << 8], g[2][1 << 8][1 << 8];
pair<int, int> a[maxn];

inline int gi()
{
    char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9') c = getchar();
    int sum = 0;
    while ('0' <= c && c <= '9') sum = sum * 10 + c - 48, c = getchar();
    return sum;
}

const int maxp = 8;
const int p[8] = {
    2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
};

inline void inc(int &a, int b)
{
    a += b;
    if (a >= mod) a -= mod;
}

int main()
{
    n = gi(); mod = gi();
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        int k = i;
        for (int j = 0; j < maxp; ++j)
            if (k % p[j] == 0) {
                a[i].second ^= 1 << j;
                while (k % p[j] == 0) k /= p[j];
            }
        a[i].first = k;
    }

    sort(a + 2, a + n + 1);
    f[0][0] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        if (i == 2 || a[i].first == 1 || a[i].first != a[i - 1].first) {
            memcpy(g[0], f, sizeof(g[0]));
            memcpy(g[1], f, sizeof(g[1]));
        }
        for (int s1 = (1 << maxp) - 1; s1 >= 0; --s1)
            for (int s2 = (1 << maxp) - 1; s2 >= 0; --s2) {
                if ((s2 & a[i].second) == 0) inc(g[0][s1 | a[i].second][s2], g[0][s1][s2]);
                if ((s1 & a[i].second) == 0) inc(g[1][s1][s2 | a[i].second], g[1][s1][s2]);
            }

        if (i == n || a[i].first == 1 || a[i].first != a[i + 1].first) {
            for (int s1 = (1 << maxp) - 1; ~s1; --s1)
                for (int s2 = (1 << maxp) - 1; ~s2; --s2) {
                    f[s1][s2] = g[0][s1][s2] + g[1][s1][s2] - f[s1][s2];
                    if (f[s1][s2] < 0) f[s1][s2] += mod;
                    if (f[s1][s2] >= mod) f[s1][s2] -= mod;
                }
        }

    }

    int ans = 0;
    for (int s1 = (1 << maxp) - 1; ~s1; --s1)
        for (int s2 = (1 << maxp) - 1; ~s2; --s2)
            if ((s1 & s2) == 0) inc(ans, f[s1][s2]);
    printf("%d\n", ans);

    return 0;
}