【数学，电路，欧拉公式】复平面，虚数单位的意义，以及背后的欧拉公式，RC电路中出现的复数

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#数学 #复数 #原理

于 2025-11-21 17:08:41 首次发布

1. 引子

高中我们学了“复数”，“数系的扩充和复数的引入”，为我们所熟知的是 $i^2 = -1$ , 复数 $a + bi$ , 好像也仅限于此了。其实我在心里问过很多遍：我学复数是要干什么，复数的意义是什么？仅仅是为了扩充数系，学着好玩？？？受限于教育资源的落后，我的老师也没有教我更深入的东西，自己也没有再去深入了解。但是转机出现在今天......

今天在图书馆学电路系统的时候，RC低通滤波器的电压传递函数是 $H(jw) = \frac{1}{1 + jwRC}$ , 这里的 $j$ 表示虚数单位（不用 $i$ 是为了避免与电流的符号混淆）。本人表示非常困惑，电路里面怎么就出现虚数单位了，风马牛不相及的东西怎么凑一块儿了？

2. 复平面

2.1 复平面介绍

复平面是承载复数的二维直角坐标系，核心作用是把复数 $a + bi$ ，转化为可视化的几何元素（点或矢量），大小和角度是复数的几何属性。

复数的“大小”：“模”表示复数对应的矢量长度，记为 $|z|$ 或 $r$ ；

复数的“角度”：“辐角”表示复数对应的矢量与实轴正方向的夹角，记为 $\arg(z)$ 或 $\theta$ ；

2.2 Another Question

二维直角坐标系的向量也能表示长度，角度，为什么要用复平面？

2.3 二维直角坐标系向量（几何向量）的局限

几何向量确实能表示“长度”和“角度”，但只有几何运算（加减，数乘，点乘，叉乘），没有代数运算（乘法，除法）—— 向量的“乘法”没有统一的，能同时保留“长度 + 方向”的代数规则：

向量点乘：

$(a,b) \cdot (c, d) = ac + bd$ , 结果是实数，丢失了方向信息；

向量叉乘：

三维向量叉乘会产生新向量，但是二维向量的“叉乘”定义为： $\vec{a} = (x_{1},y_{1}), \vec{b} = (x_{2},y_{2}), \vec{a}\times \vec{b} = x_{1}y_{2} - x_{2}y_{1}$ , 结果是标量。

2.4 复平面的本质

“带代数运算规则的二维直角坐标系”

2.5 复平面的意义

给二维向量赋予“代数运算能力”，能做代数运算（加减乘除），且运算结果能同时反映“长度变化”和“方向变化”

复数的乘法等价于“长度相乘 + 角度相加”

$z_{1} = r_{1}(\cos \theta _{1} + i\sin \theta _{1})$

$z_{2} = r_{2}(\cos \theta _{2} + i\sin \theta _{2})$

通过三角函数变换可得到

$z_{1}\times z_{2} = r_{1}r_{2}(\cos (\theta _{1} + \theta _{2}) + \sin (\theta _{1} + \theta _{2}))$

$\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}}(\cos (\theta _{1} - \theta _{2}) + \sin (\theta _{1} - \theta _{2}))$

2.6 对两种坐标系的理解

其实在这里向量还是相同的向量（向量的定义：既有大小，又有方向，且满足“平移不变性”的量），只是一个放在二维直角坐标系，一个放在复平面。在复平面下向量被赋予“代数运算”能力（这里有点像物理中的场，把两种坐标系当成两个场，场有自己的特性，对场中的对象——向量赋予相应的特性），这种能力可以让运算结果同时反映“长度和方向变化”，这种能力和运算结果是我们想要的。

站在宏观一点的角度，同时看待两种坐标系，复平面的特殊之处在于“虚轴”，以及虚轴对应的“虚数单位”。在坐标系下我们研究的无非就是向量，这是我们有利有效的，研究问题的工具，而向量的坐标表示形式无非就是 $(a,b)$ 。

当我们把复平面中的虚数单位抽离，只看“实部”和“虚部”（ $a + bi$ 中的 $a$ 和 $b$ )，两种坐标系也就没什么区别。

3. 虚数单位

3.1 虚数单位的本质

二维平面的“旋转算子”

3.2 虚数单位的意义

当我们理解了复平面的意义，作用，相较于直角坐标系的显著区别，以及向量在两种坐标系的视角后，我们来研究“万恶之源”——虚数单位 $i$

$i$ 的代数意义

我们所熟知的是 $i$ 的出现突破了实数域的限制，让 $x^{^{2}} = -1$ 有解；拓展数域，将实数域扩展到复数域，使得任意多项式方程都有解（代数基本定理）

$i$ 的几何意义

乘以 $i$ 等价于在复平面上逆时针旋转90°

旋转性质验证：

设实数 $a$ ，对应复平面上点 $(a,0)$

乘以 $i$ 得到 $ai$ ，对应复平面上 $(0,a)$

乘以 $i$ 得到 $-a$ ，对应复平面上 $(-a,0)$

乘以 $i$ 得到 $-ai$ ，对应复平面上 $(0,-a)$

3.3 对虚数单位的理解

其实不是先有 $i^{^{2}} = -1$ ，再有 $i$ 是二维平面的“旋转算子”

$i^{^{2}} = -1$ 不是复数体系大厦的基石， $i$ 是二维平面的“旋转算子”才是大厦基石

设实数 $a$ ，对应复平面上点 $(a,0)$ ，乘以 $i^{^{2}}$ ——>旋转180°——>从 $(a,0)$ 变为 $(-a,0)$ ，等价于乘以 $-1$ ——> $i^{^{2}} = -1$

4. 欧拉公式（Euler's Formula)

其实我也没想到，有朝一日我会不经意间理解欧拉公式，一直觉得这是“神人”研究的范畴......

4.1 Introduction

欧拉公式（Euler's Formula）是数学史上最优美、最核心的公式之一，它将复数、指数函数、三角函数三大看似无关的领域完美串联，不仅是复数运算的底层基石，更是电子信息、信号处理、量子力学等理工科领域的 “桥梁工具”。

4.2 Deduction

括号1（不含 $i$ 部分）正是 $\cos \theta$ 的泰勒级数

括号2（含 $i$ 部分）正是 $\sin \theta$ 的泰勒级数

因此：

$e^{i\theta } = \cos\theta +i \sin\theta$

4.3 欧拉公式在复平面，复数乘除法重要性体现

（欧拉公式意义众多，这里仅阐述一点）

我们知道复数的标准式是： $z = a + bi$

结合欧拉公式，复数可表示为： $z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta ) = |z|e^{i\theta }$

复数的乘法：

$z_{1} = r_{1}(\cos \theta _{1} + i\sin \theta _{1}) = r_{1}e^{i\theta_{1} }$

$z_{2} = r_{2}(\cos \theta _{2} + i\sin \theta _{2}) = r_{2}e^{i\theta _{2}}$

$z_{1} \times z_{2} = r_{1}r_{2}e^{i\theta _{1}}\cdot e^{i\theta _{2}} = r_{1}r_{2}e^{i(\theta _{1} + \theta _{2})}$

完美解释复数乘法——“长度相乘，角度相加”