HackerRank leonardo-and-lucky-numbers —— 模线性方程的通解

最新推荐文章于 2024-02-03 12:04:18 发布

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通过扩展欧几里得算法解决HackerRank上的Leonardo Numbers问题，找到7x + 4y = n的整数解。讨论了通解公式以及如何找到满足条件的非负整数解，提出了k的取值范围并给出代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：https://vjudge.net/problem/HackerRank-leonardo-and-lucky-numbers

题解：

1.根据扩展欧几里得：7*x + 4*y = gcd(7,4) = 1，必有整数解，其中一组为（-1,2），通解为：（-1+4*k， 2-7*k）。

2.当：7*x + 4*y = n，其中一组解为（-n，2*n），通解为：（-n+4*k， 2*n-7*k）。

3.若要上式有解，则通解（-n+4*k， 2*n-7*k）中必须至少有一对非负的整数解。

4. x = -n+4*k >=0 && y = 2*n-7*k >=0 ，推出k的范围： n/4<=k<=2n/7。然后再在这个范围内枚举k，得到x，y，x、y为非负数，并且7x+4y = n。

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <string>
#include <set>
#define ms(a,b) memset((a),(b),sizeof((a)))
//#define LOCAL
using namespace std;
typedef long long LL;
const int INF = 2e9;
const LL LNF = 9e18;
const int mod = 1e9+7;
const int maxn = 200000+10;

int main()
{
    LL q, n;
    scanf("%lld",&q);
    while(q--)
    {
        LL x, y, k, n;
        int B = 0;
        scanf("%lld",&n);
        for(k = n/4-1; k<=(2*n)/7+1; k++)   //除法可能除不尽，所以要左右各扩一个单位
        {
            x = -1LL*n+1LL*4*k;
            y = 1LL*2*n-1LL*7*k;
            if(x<0 ||y<0) continue;
            if(7*x+4*y==n)
            {
                B = 1;
                break;
            }
        }
        if(B) puts("Yes");
        else puts("No");
    }
}