[BZOJ3679]数字之积数位DP

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本文介绍一种使用动态规划解决特定区间内整数质因数计数问题的方法。通过预处理质因数及其指数，利用五维DP状态压缩技巧，有效解决了区间[L,R]内所有数的质因数2、3、5、7的个数统计问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

首先还是ANS[L,R)=ANS[1,R-1]-ANS[1,L-1]。
f[i][j][0/1]表示从高到低填到第i位，积为j的个数。
不过j太大了，但我们发现数字之积分解质因数只可能有2,3,5,7。于是设计状态f[i][c2][c3][c5][c7][0/1]，c2,c3,c5,c7表示它们的次数。这样复杂度为O(log2N*log3N*log5N*log7N*18)。
不过hash的话状态数好像可以减到几千更优。
代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;

ll n,f[20][33][20][14][13][2],mi[20];
int z[10][4]={{0,0,0,0},{0,0,0,0},{1,0,0,0},{0,1,0,0},{2,0,0,0},{0,0,1,0},{1,1,0,0},{0,0,0,1},{3,0,0,0},{0,2,0,0}};
double cal(int d2,int d3,int d5,int d7)
{
    double re=1;
    while(d2--) re*=2;
    while(d3--) re*=3;
    while(d5--) re*=5;
    while(d7--) re*=7;
    return re;
}
ll work(ll m)
{
    memset(f,0,sizeof(f));
    ll re=0;
    int bit=0;
    while(mi[bit]<=m) bit++;
    f[bit+1][0][0][0][0][1]=1;
    for(int v=bit;v>=1;v--)
    {
        int d=m/mi[v-1]%10;
        f[v][0][0][0][0][0]=1;
        for(int i=1;i<=9;i++)
        {
            int z2=z[i][0],z3=z[i][1],z5=z[i][2],z7=z[i][3];
            if(i<d)
            {       
                for(int c2=z2;c2<=32;c2++)
                    for(int c3=z3;c3<=19;c3++)
                        for(int c5=z5;c5<=13;c5++)
                            for(int c7=z7;c7<=12;c7++)
                                f[v][c2][c3][c5][c7][0]+=f[v+1][c2-z2][c3-z3][c5-z5][c7-z7][1];                 
            }
            if(i==d)
            {
                for(int c2=z2;c2<=32;c2++)
                    for(int c3=z3;c3<=19;c3++)
                        for(int c5=z5;c5<=13;c5++)
                            for(int c7=z7;c7<=12;c7++)
                                f[v][c2][c3][c5][c7][1]+=f[v+1][c2-z2][c3-z3][c5-z5][c7-z7][1];             
            }
            for(int c2=z2;c2<=32;c2++)
                    for(int c3=z3;c3<=19;c3++)
                        for(int c5=z5;c5<=13;c5++)
                            for(int c7=z7;c7<=12;c7++)
                                f[v][c2][c3][c5][c7][0]+=f[v+1][c2-z2][c3-z3][c5-z5][c7-z7][0];             

        }
    }
    for(int c2=0;c2<=32;c2++)
        for(int c3=0;c3<=19;c3++)
            for(int c5=0;c5<=13;c5++)
                for(int c7=0;c7<=12;c7++)
                    if(cal(c2,c3,c5,c7)<=n)
                        re+=f[1][c2][c3][c5][c7][1]+f[1][c2][c3][c5][c7][0];                 
    return re;                  
}

int main()
{
    ll l,r;
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&l,&r);
    mi[0]=1;
    for(int i=1;i<=18;i++) mi[i]=mi[i-1]*10;
    printf("%lld",work(r-1)-work(l-1));
    return 0;
}