第K优决策 HDU2639

看到一些比较好的东西，感觉对理解这个对于求次优解、第K优解类的问题非常有启发性吧，以前不知道应该怎么办，看了以后感觉稍微有点点想法，多想想吧，估计能触类旁通，遇到相关的一些题目可能也会有一定的想法吧，下面就是转过来的，感觉挺好的。

求第K优解

对于求次优解、第K优解类的问题，如果相应的最优解问题能写出状态转移方程、用动态规划解决，那么求次优解往往可以相同的复杂度解决，第K优解则比求最优解的复杂度上多一个系数K。其基本思想是将每个状态都表示成有序队列，将状态转移方程中的max/min转化成有序队列的合并。这里仍然以01背包为例讲解一下。首先看01背包求最优解的状态转移方程：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}。如果要求第K优解，那么状态f[i][v]就应该是一个大小为K的数组f[i][v][1..K]。其中f[i][v][k]表示前i个物品、背包大小为 v时，第k优解的值。“f[i][v]是一个大小为K的数组”这一句，熟悉C语言的同学可能比较好理解，或者也可以简单地理解为在原来的方程中加了一维。 显然f[i][v][1..K]这K个数是由大到小排列的，所以我们把它认为是一个有序队列。然后原方程就可以解释为：f[i][v]这个有序队列是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]+w[i]这两个有序队列合并得到的。有序队列f[i-1][v]即f[i-1][v][1..K]，f[i-1][v-c[i]]+w[i]则理解为在f[i-1][v-c[i]] [1..K]的每个数上加上w[i]后得到的有序队列。合并这两个有序队列并将结果的前K项储存到f[i][v][1..K]中的复杂度是O(K)。最后的答案是f[N][V][K]。总的复杂度是O(VNK)。

为什么这个方法正确呢？实际上，一个正确的状态转移方程的求解过程遍历了所有可用的策略，也就覆盖了问题的所有方案。只不过由于是求最优解，所以其 它在任何一个策略上达不到最优的方案都被忽略了。如果把每个状态表示成一个大小为K的数组，并在这个数组中有序的保存该状态可取到的前K个最优值。那么， 对于任两个状态的max运算等价于两个由大到小的有序队列的合并。另外还要注意题目对于“第K优解”的定义，将策略不同但权值相同的两个方案是看作同一个解还是不同的解。如果是前者，则维护有序队列时要保证队列里的数没有重复的。

#include<iostream>
using namespace std;

int f[1005][35];
int c1[35], c2[35];
int main()
{
    int t, i, j, n, v, k, p, p1, p2, p3;
    int value[105], cost[105];
       
    while(cin>>t)
    {
        while(t--)
        {
            cin>>n>>v>>k;
            
            for(i = 1; i <= n; ++i)
               cin>>value[i];
            for(i = 1; i <= n; ++i)
               cin>>cost[i];
            
            memset(f, 0, sizeof(f));
            
            for(i = 1; i <= n; ++i)
            {
                for(j = v; j >= cost[i]; j--)
                {
                     for(p = 1; p <= k; ++p)
                     {
                          c1[p] = f[j][p];
                          c2[p] = f[j-cost[i]][p]+value[i];       
                     }
                     
                     c1[p] = -1;
                     c2[p] = -1;
                     p1 = 1;
                     p2 = 1;
                     p3 = 1;
                     while(p3<=k &&(c1[p1]!=-1 || c2[p2]!=-1) )
                     {
                         if(c1[p1] > c2[p2]) 
                         {
                             f[j][p3] = c1[p1];
                             p1++;         
                         }        
                         else 
                         {
                             f[j][p3] = c2[p2];
                             p2++;         
                         }
                         if(f[j][p3] != f[j][p3-1]) p3++;
                     }    
                }                     
            } 
            cout<<f[v][k]<<endl;     
        }                      
    }
    return 0;
}