【算法手记05】树与二叉树

树 Tree

定义

树是一种数据结构，它是由n(n≥0)个有限节点组成一个具有层次关系的集合。
把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

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术语

• 节点(node)：每一个元素称为一个节点。
• 根节点(root) ：没有父节点的节点（从图像来看，就是往上没有任何节点了）。一棵树只能有一个根节点。
• 子节点：一个节点的下一级节点。如图，B、C是A的子节点。
• 父节点：一个节点的上一级节点。如图，B是D、E的父节点。
• 叶子节点：没有子节点的节点。如图，H、E、F、G是叶子节点。
• 节点的权：该节点存放的值。
• 路径：从root节点到该节点的路线，可能不唯一。
• 层：从根节点开始，根节点为第一层，根节点的子节点在第二层，以此类推。
• 高度/深度：一棵树的最大层数。
• 度：某节点拥有子节点的数量。叶子节点的度为0
• 子树：子节点及其子节点构成的树，一个节点也是树。如图DH是节点B的子树，E也是B的子树。

• 森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；
  

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二叉树 BiTree

定义

1. 每个节点最多只能有2个节点的树称为二叉树。
2. 二叉树的子节点分为左节点和右节点。
   

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满二叉树

定义

一个二叉树，如果每一个层的节点数都达到最大值（也就是每个父节点都有2个子节点），则这个二叉树就是满二叉树。

性质

对于深度为$k$的满二叉树，每层的节点数为 $2^{k-1}$，满足首项为1、公比为2的等比数列。
由等比数列求和公式：$$S=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$$
可以推导出满二叉树的节点总数为$2^k-1$.

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完全二叉树

定义

一个深度为$k$的二叉树，如果其$k-1$层的节点是满的，$k$层节点是左连续的（也就是说，最后一层从左边第一个节点到最后一个节点都是连续的，比如把图中的$0005$节点去掉，就不算连续了。），那么就将这种二叉树称为完全二叉树。

性质

1. 满二叉树是完全二叉树的特殊情况；
2. n个结点的完全二叉树的深度为：$[lo{g}_{2}n]+1$([ ]表示向下取整)

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BST 二叉搜索树

Binary Search Tree

• 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
• 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
• 它的左、右子树也分别为二叉排序树
  

AVL 平衡二叉树

平衡二叉搜索树：又被称为AVL（Adelson-Velsky and Landis）树，且具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。