堆和并查集

Kruskal算法并查集和最小堆实现 <br />Kruskal算法的基本思想是,将图中的节点分类,分成两个集合,分别表示成S和T其中S是不在生成树中的节点集合,T是在生成树中的节点集合。刚开始的时候,T中只有源节点一个节点。同时将图中的所有边按照权值排序。然后每次向图中添加一条权值最小的边,同时满足,这条边的一个节点在S中一个节点在T中。这样循环,直到树中有了n-1条边为止。实现的代码如下:<br /> <br /> <br /> <br />/**<br />这边使用并查集实现Kruskal算法,并没有使用最小堆,代替的使用了一个排序的方法 阅读详情

堆(STL中的优先队列)

优先队列:在队列中,元素被赋予优先级,优先级最高的最先被弹出

#include <iostream>
#include <queue>
#include <vector>

using namespace std;

int main()
{
    //STL中的优先队列默认以大为优先级
    priority_queue<int> q1;
    q1.push();//push a element into the queue
    q1.top();//botain the top element
    q1.empty();//the queue is empty?
    q1.size();//inquire the queue size
    q1.pop();//delete the top element in queue
    
    //下面这个是小顶堆,以小为优先级
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int> > q2;
}

学习堆

在学习堆之前,我们要知道什么叫完全二叉树

二叉树:指树种的节点的度不大于2的有序树

  • 结点的度:一个节点拥有子树的数目 成为 结点的度

  • 节点名称:左子节点,右子节点,父节点

  • 结点层次:根节点为1,根节点的子节点为2,以此类推

  • 树的深度:树的高度,也是层次的最大值

 

完全二叉树:深度为k,有n个结点的二叉树,当且仅当每一个节点都与深度为k的满二叉树中编号从1到n的节点一一对应时,称为完全二叉树,如图所示

通俗来讲,除了最深层,其他所有层数的结点都是满的,最深层的结点从左到右,编号递增排列

 

 

实现完全二叉树

用数组实现

注意下标从1开始

// 设当前结点编号为i,其左子节点编号为lson,其右子节点编号为rson,其父节点编号为fa
int lson = i << 1;
int rsom = i << 1 | 1;
int fa = i >> 1;

//根节点是没有父节点的

模拟堆

构建一个小根堆

//1读入
int n;
for(int i = 1; i <= n; i++)
	cin >> h[i];
len = n;

for(int i = n/2; i; i--)	down(i);

//2插入
Insert(x);

插入

  • Insert

void Insert(int x)
{
	len ++;
	h[len] = x;
	up(len);
}
  • down

void down(int index)
{
	int t = index;
	int lson = t << 1, rson = t << 1 | 1;
	if(lson <= len && h[lson] < h[t])	t = lson;
	if(rson <= len && h[rson] < h[t])	t = rson;
	
	if(t != index)
	{
		swap(h[t], h[index]);
		down(t);
	}
}
  • up

void up(int index)
{
	if(index >> 1 > 0 && h[index] < h[index >> 1])
	{
		swap(h[index], h[index >> 1]);
		up(index >> 1);
	}
}

删除

//删除头部
void pop_top()
{
	h[1] = h[len];
	len--;
	down(1);
}

//删除任意
void Delete(int index)
{
	h[index] = h[len];
	len--;
	down(index);
	up(index);
}

给出一道题 可以自行联系模拟堆的部分操作

AcWing 838. 堆排序 - AcWing

在实际做题中,很少使用手写堆,而是使用STL中的priority_queue

----------------------------------------------------------------------------------

并查集

现在有一个问题:给出n个点和m条边的无向图,询问任意两点是否连通

我们能想到的比较朴素的算法就是dfs搜索 看一下能不能搜到,时间复杂度是o(n)

引入并查集

并查集可以在将近o(1)的情况下来查询两个点是否处于一个集合中

应用

  • 合并:把两个不相交的集合合并为一个

  • 查询:查询两个集合是否在同一集合中

我们可以这样想象

一开始有n个人,这n个人一开始只有一个老大,就是自己

 

在争夺地盘的时候,逐渐形成了帮派

有的人开始认老大,有的人收小弟

 有的老大在抢地盘的时候败北,带着自己的小弟全部投靠了那位老大

 

这里需要非常注意的是:

  • 只能是一个老大带领小弟并入别的帮派,因为只有老大才能代表着一个帮派的行为

  • 如上图,6号结点的顶头上司还是4号结点,只是6号结点的最终老大是1号。因此在查询的时候就得一层一层地往上询问老大是谁

简述一下代码思路

利用树来存储每一个集合,用树根(老大)的编号来代表整个集合的编号。每个节点存储他的父节点,例如p[x]就是x的父节点。

问题1:如何判断树根?

答;自己的老大是自己的人,就是树根,也就是根节点

If(fa[x] == x)

问题2:如何求x的集合编号?

答:通俗的说,从x一路向上直到树根。

while(fa[x] != x)	x = fa[x];

问题三:如何查询x和y是否在一个集合里?

答:fa[x] == fa[y] 代表x和y在同一个集合

问题四:如何合并两个集合?

答:加一条边(一个集合的根节点的父节点为另一个集合的根节点)

fa[x] = y;

我们讨论一种极端情况

在上面的问题2中,出现了这样的情况

  • 一个帮派非常非常多人

  • 帮派的人所形成的关系是一种线性的,那么他的查询时间将会是o(n),反复查询的话时间复杂度太大,没有达到预想中的效果

根据上述情况,我们提出了名叫路径压缩的方法

在每次查询的时候,把路径上的点的父亲改成根节点,以便于以后再查询

模板如下

void find(int x)
{
	if(fa[x] != x)	fa[x] = find(fa[x]);
	return fa[x];
}

并查集裸题

AcWing 836. 合并集合 - AcWing

这里有并查集的基本使用方法

【C++】开源:ncurses终端TUI文本界面库 ncurses配置使用(TUI) 阅读详情

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B. Palm", title = "Prediction as a candidate for learning deep hierarchical models of data", year = "2012",}```Contact: rasmusbergpalm at gmail dot comDirectories included in the toolbox-----------------------------------`NN/` - A library for Feedforward Backpropagation Neural Networks`CNN/` - A library for Convolutional Neural Networks`DBN/` - A library for Deep Belief Networks`SAE/` - A library for Stacked Auto-Encoders`CAE/` - A library for Convolutional Auto-Encoders`util/` - Utility functions used by the libraries`data/` - Data used by the examples`tests/` - unit tests to verify toolbox is workingFor references on each library check REFS.mdSetup-----1. Download.2. addpath(genpath('DeepLearnToolbox'));Example: Deep Belief Network---------------------```matlabfunction test_example_DBNload mnist_uint8;train_x = double(train_x) / 255;test_x = double(test_x) / 255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);%% ex1 train a 100 hidden unit RBM and visualize its weightsrand('state',0)dbn.sizes = [100];opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;opts.momentum = 0;opts.alpha = 1;dbn = dbnsetup(dbn, train_x, opts);dbn = dbntrain(dbn, train_x, opts);figure; visualize(dbn.rbm{1}.W'); % Visualize the RBM weights%% ex2 train a 100-100 hidden unit DBN and use its weights to initialize a NNrand('state',0)%train dbndbn.sizes = [100 100];opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;opts.momentum = 0;opts.alpha = 1;dbn = dbnsetup(dbn, train_x, opts);dbn = dbntrain(dbn, train_x, opts);%unfold dbn to nnnn = dbnunfoldtonn(dbn, 10);nn.activation_function = 'sigm';%train nnopts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;nn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.10, 'Too big error');```Example: Stacked Auto-Encoders---------------------```matlabfunction test_example_SAEload mnist_uint8;train_x = double(train_x)/255;test_x = double(test_x)/255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);%% ex1 train a 100 hidden unit SDAE and use it to initialize a FFNN% Setup and train a stacked denoising autoencoder (SDAE)rand('state',0)sae = saesetup([784 100]);sae.ae{1}.activation_function = 'sigm';sae.ae{1}.learningRate = 1;sae.ae{1}.inputZeroMaskedFraction = 0.5;opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;sae = saetrain(sae, train_x, opts);visualize(sae.ae{1}.W{1}(:,2:end)')% Use the SDAE to initialize a FFNNnn = nnsetup([784 100 10]);nn.activation_function = 'sigm';nn.learningRate = 1;nn.W{1} = sae.ae{1}.W{1};% Train the FFNNopts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;nn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.16, 'Too big error');```Example: Convolutional Neural Nets---------------------```matlabfunction test_example_CNNload mnist_uint8;train_x = double(reshape(train_x',28,28,60000))/255;test_x = double(reshape(test_x',28,28,10000))/255;train_y = double(train_y');test_y = double(test_y');%% ex1 Train a 6c-2s-12c-2s Convolutional neural network %will run 1 epoch in about 200 second and get around 11% error. %With 100 epochs you'll get around 1.2% errorrand('state',0)cnn.layers = { struct('type', 'i') %input layer struct('type', 'c', 'outputmaps', 6, 'kernelsize', 5) %convolution layer struct('type', 's', 'scale', 2) %sub sampling layer struct('type', 'c', 'outputmaps', 12, 'kernelsize', 5) %convolution layer struct('type', 's', 'scale', 2) %subsampling layer};cnn = cnnsetup(cnn, train_x, train_y);opts.alpha = 1;opts.batchsize = 50;opts.numepochs = 1;cnn = cnntrain(cnn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = cnntest(cnn, test_x, test_y);%plot mean squared errorfigure; plot(cnn.rL);assert(er<0.12, 'Too big error');```Example: Neural Networks---------------------```matlabfunction test_example_NNload mnist_uint8;train_x = double(train_x) / 255;test_x = double(test_x) / 255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);% normalize[train_x, mu, sigma] = zscore(train_x);test_x = normalize(test_x, mu, sigma);%% ex1 vanilla neural netrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samples[nn, L] = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.08, 'Too big error');%% ex2 neural net with L2 weight decayrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.weightPenaltyL2 = 1e-4; % L2 weight decayopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex3 neural net with dropoutrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.dropoutFraction = 0.5; % Dropout fraction opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex4 neural net with sigmoid activation functionrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.activation_function = 'sigm'; % Sigmoid activation functionnn.learningRate = 1; % Sigm require a lower learning rateopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex5 plotting functionalityrand('state',0)nn = nnsetup([784 20 10]);opts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through datann.output = 'softmax'; % use softmax outputopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex6 neural net with sigmoid activation and plotting of validation and training error% split training data into training and validation datavx = train_x(1:10000,:);tx = train_x(10001:end,:);vy = train_y(1:10000,:);ty = train_y(10001:end,:);rand('state',0)nn = nnsetup([784 20 10]); nn.output = 'softmax'; % use softmax outputopts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, tx, ty, opts, vx, vy); % nntrain takes validation set as last two arguments (optionally)[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');```[![Bitdeli Badge](https://d2weczhvl823v0.cloudfront.net/rasmusbergpalm/deeplearntoolbox/trend.png)](https://bitdeli.com/free "Bitdeli Badge")

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重点围绕《算法图解》的核心章节,提供更详细的算法案例(包括堆和并查集的实现)

将重点围绕《算法图解》的核心章节,提供更详细的算法案例(包括堆和并查集的实现),并深入探讨如何将这些算法集成到智能制造项目(如 MES、WMS、SPC、APS、上位机系统)中。以下内容将结合实际场景,包含 C# 源码、算法应用分析,以及与智能制造系统的集成方案。为了保持结构清晰,我将先针对某几章提供详细案例(以第 4 章快速排序、第 6 章广度优先搜索、第 7 章 Dijkstra 算法为例),然后补充堆和并查集的实现,最后探讨集成到智能制造项目的具体方案。

专注于前沿技术的探索与实践,热衷于从代码逻辑、架构设计到行业应用等多维度深挖技术本质。期待在技术之路上与你共同成长~ 992

【Java基础 | 18】并查集与堆详解:从路径压缩到 PriorityQueue 和 Top K

本文面向已经掌握数组、链表、栈、队列的 Java 学习者,系统讲解两个常用进阶数据结构:并查集和堆。文章从朋友圈问题引入并查集,拆解 Quick Find、Quick Union、按大小合并、按秩合并和路径压缩;再讲堆的完全二叉树性质、数组下标关系、上浮、下沉、PriorityQueue 默认小顶堆以及 Top K 应用,帮助读者建立“关系”和“优先级”两类问题的解题直觉。

超级苦力怕的博客 2620

运用并查集与最小堆实现Kruskal算法

前言 Kruskal是在一个图(图论)中生成最小生成树的算法之一。(另外还有Prim算法,之后会涉及到)这就牵扯到了最小生成树的概念,其实就是总权值最小的一个连通无回路的子图。(结合下文的示意图不难理解)这里的代码并没有用图的存储结构(如:矩阵,邻接链表等)来处理和运用这个算法,而是最简单的三元组输入,这样会使得这个过程简化很多,至于图的存储方式,在之后总结图数据结构的时候会具体讨论。Kruska

razorEdge的博客 4552
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a simple_boy
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