数学组合问题

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我有精兵组阵，兵阵可看做一个 n×m 的矩阵，现在从左上角 (1,1) 派遣出通讯兵 去 (n,m) 传令，通讯兵每一步仅能向右走或者向下走，求会有几种不同的路线，答案对 998244353 取模。

 n<= 1000000，m,T <= 5000

 这道题很经典啊，寒假集训学的dp，奈何当时看了数据范围，dp肯定爆。

 正确题解是数学组合数，要走到（n，m）坐标中，右走m步，下走n步。而不同的路径可以看作是从n+m步中选择n步向右走的方案数，即为组合数C(n+m, n)。

 

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int Mod=998244353;
const int N=2e6;
vector<int>g(N,0);

int ksm(int a,int b){//a^b
    int ans=1;
     while(b){
         if(b&1) ans=ans*a%Mod;
          a=a*a%Mod;
          b>>=1;
     }
      return ans;
}

int C(int x,int y){//组合数:x中取y
    if(x==0||y==0) return 1;
     return g[x]*ksm((g[x-y]*g[y])%Mod,Mod-2)%Mod;//费马小定理求逆元
}//(g[x-y]*g[y])%Mod 这里不取Mod，精度会WA

void solve(){
    int n,m;
     cin>>n>>m;
      n--,m--;
      cout<<C(n+m,m)<<'\n';
}

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
      g[0]=1;
      for(int i=1;i<=N;i++){//预处理阶乘
          g[i]=(g[i-1]*i)%Mod;
      }

    int t;
     cin>>t;
      while(t--){
          solve();
      }
    return 0;
}

预处理阶乘。组合数公式：C（y,x）=!x / !y*!(x-y)

 除数取模，得用逆元啊！费马小定理求逆元，转换为乘法，用快速幂。时间复杂度转为O(nlogn)级别。

细节：在传入快速幂，(g[x-y]*g[y])%Mod 这里不取Mod，精度会WA。

 总结：思路最重要，就是组合数求方案，不管是再高深的算法，快速幂，逆元，都是用来实现你思路的工具罢了。学思路！！！