快慢指针判环步长差的探讨与解析-优快云博客

一.解题

力扣经典链表判环问题：141. 环形链表

而解决这样的环形链表，快慢指针是经典算法

/**
 * Definition for singly-linked list.
 * struct ListNode {
 *     int val;
 *     struct ListNode *next;
 * };
 */
 typedef struct ListNode ListNode;
bool hasCycle(struct ListNode *head) {
       ListNode * slow = head, *fast = head;
       while(fast && fast->next)
        {
            slow = slow->next;
            fast = fast->next->next;
            if(slow == fast)
            {
                return true;
            }
        }
        return false;
}

二.疑问与解析

疑问.

在这个算法中我们采取了快慢指针步长差为 1，那为什么要一定是 1 呢？为什么1 就一定能追的上呢？能不能是 2 呢？3 呢？N 呢？如果不是 1，还一定追的上吗？

解析.

让我们先来解析一下，为什么 1 就一定能追的上呢？

Slow 走 1，Fast 走 2：

相对速度是 1。
这就好比你在操场跑圈，前面的人比你快 1m/s。不管你们其实距离多少（N），每一秒距离缩短 1 米：N, N-1, N-2 ... 0。
结论：因为距离是一步步减小的，一定会减到 0（相遇）。

所以，目前来看 1 是最优的，不需要担心什么，而快慢指针的算法步长差普遍也为 1.

如果 Slow 走 1，Fast 走 3 呢？

相对速度：3 - 1 = 2
距离变化：每次缩短 2 米
风险：如果初始距离 N 是奇数，距离变化会是 N N-2... 1 -1
- 这个 -1 意味着 Fast “跳过” 了 Slow，跑到了 Slow 前面 1 个单位的位置
- 此时，新一轮的追击距离变成了 C-1 （C 是环的周长），那如果 C-1 也是奇数呢？也就是 C 是偶数，也就意味着永远追不上了。

好像我们得出来了一个结论，也就是当 N 为奇数，且 C为偶数的时候，就永远追不上了。

但事实真就如此吗？N 是否与 C 有某种制约关系呢？这样的情况会不会永远不会出现？

我们注意到，slow 的速度是 fast 的一半，而他们是同时出发的，根据 S = v * t，那他们所走过的路程也有关系，是否能找到N 和 C 的关系呢？

代数证明：

假设：Slow 进环时，走了L的路程。
此时：Fast 走了 3L 的路程（因为速度是 3 倍）。
几何关系：Fast 此时在环里，位置是 L + x *C + N（x 是圈数，N 是入环后的相对距离）。
建立等式：

3L = L + x*C + N

2L = x*C + N
奇偶性分析（高能预警）：
- 等式左边 2L：一定是偶数。
- 等式右边 x*C + N：必须也是偶数。
- 如果 C 是偶数（死锁条件之一），那么 x*C 也是偶数。
- 那么 N 必须是：偶数 - 偶数 = 偶数。

结论：

如果要死循环，必须满足C是偶数且 N 是奇数。
但是数学公式告诉我们：只要 C 是偶数，N 就一定是偶数！
结论： “N 是奇数”和“C 是偶数”这两个条件，永远不可能同时成立。

终极结论：

即使是用 Fast 走 3 步，它们也一定会相遇！根本不存在追不上的情况。

但在这类问题，我们还是更倾向于用步长差为 1 来解决

原因如下

代码代价：
- 走 2 步：fast->next->next，只需要判断一次非空。
- 走 3 步：fast->next->next->next，得小心翼翼地多判断几次空指针，代码写起来恶心。
收敛速度：
- 相对速度为 1（走 2 步）是最稳的，它一定能“逐个遍历”所有可能性。
- 相对速度越大，虽然理论上能追上，但可能会在环里多绕好几圈（因为一直在跳跃），效率不一定比走 2 步高。