博客探讨了矩阵求幂的算法，包括当指数为偶数和奇数时如何快速计算，并给出了Java实现。文章以蓝桥杯ALGO_60题为例，详细解释了矩阵乘方的优化算法，特别是对于奇数指数的情况，如何利用(A^(b-1)%m)*A%m来高效计算。同时，博主分享了在理解代码过程中遇到的困惑，尤其是关于'A'的含义，希望能得到解答。
本题原是 Java 蓝桥杯 ALGO_60 题，刚拿到没有思路，在网上找到一篇大佬写的跟本题高度相关的参考题，故而本着我学习、我传播的精神，我就开始了很无脑的依葫芦画瓢运动，我对代码的理解全部在下面了。不过还是遇到了一个让我很迷惑的问题，那就是题目中的a （Ab%m=(A(b-1)%m)*a%m） 到底是什么呢？我也有一些猜想，不过在未能够验证自身代码的逻辑及细节是否正确的情况下，我也只能够做一下简单的猜想，但是并不能去证得正确的对a的解到底是什么。原本是很不好意思发这篇文章的，但是也非常想请各位大佬能够给点点拨！！！求大佬指点！！！
参考题代码理解：
题目：矩阵求幂
给定一个N阶矩阵A，输出A的M次幂（M为非负整数）
第一行是一个正整数N、M (1< =N< =30，0< =M< =5)，表示矩阵A的阶数和要求的幂数
接下来N行，每行N个绝对值不超过10的非负整数，描述矩阵A的值
/**
@author MingxuDeng
2021年4月3日
State：unsolved
Hint: 矩阵求幂
给定一个N阶矩阵A，输出A的M次幂（M为非负整数）
第一行是一个正整数N、M (1< =N< =30，0< =M< =5)，表示矩阵A的阶数和要求的幂数
接下来N行，每行N个绝对值不超过10的非负整数，描述矩阵A的值
Idea:
*/
import java.util.Scanner;
public class 矩阵乘方 {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int N = scanner.nextInt(); //N阶
int M = scanner.nextInt(); //M次幂
int[][] a = new int[N][N]; //用二维数组a接收矩阵A
int[][] c = new int[N][N]; //二维数组c接收矩阵A,并用于存储结果矩阵
int i,j;
for (i = 0; i < N; i++) { //用二维数组a接收矩阵A
for (j = 0; j < N; j++) {
a[i][j] = c[i][j]= scanner.nextInt();//快捷录入矩阵数据，这里让两个矩阵的数据直接相等，方便 M>1 时结果的计算
}
}
//矩阵乘法
if (M == 0) { //当M=0时结果为单位矩阵（直接打印一个N阶的单位矩阵即可）
for (i = 0; i < N; i++) {
for(j = 0; j < N; j++) {
if (i == j) {
System.out.print(1 + " ");//当目前打印的横纵坐标相等时，即是在主对角线之上，即打印1
} else {
System.out.print(0 + " ");//当目前打印的横纵坐标不相等时，即是没有在主对角线上，即打印0即可
}
}
System.out.println();
}
} else if (M == 1) { //当M=1时结果为原来的矩阵（M=1，即：矩阵A的1次幂，就是A本身）
for (i = 0; i < N; i++) { //打印矩阵A（二维数组）中的数据即可
for(j = 0; j < N; j++) {
System.out.print(c[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
} else { //当M>1时即为M个矩阵A相乘的结果，这里用到了矩阵乘法运算
/**
* 矩阵乘法（假设两个都是2阶矩阵）：
* A、B两个二阶矩阵相当于2*2的二维数组如A中的元素坐标可以理解为分别有：{(a11,a12),(a21,a22)},B同理。
*
* A、C 两个矩阵相乘结果等于：
* |(a11*b11+a12*b21),(a11*b12+a12*b22)|
* A*C=| |
* |(a21*b11+a22*b21),(a21*b12+a22*b22)|
*/
for (int m = 1; m < M; m++) { //最外层控制M次幂，m从1开始或m<M -1都可以，不要乘多一次
int[][] temp = new int[N][N];//定义一个临时二维数组，用来存放每一步乘法运算中结果矩阵中的对应位置的计算结果
for (i = 0; i < N; i++) { //i控制行
for (j = 0; j < N; j++) { //j控制列
int sum = 0;
//每次for循环到这里， i、j的值都不变，就可以再使用一个for循环，
//进行对上例中A*C相乘时对应四个位置中的某一个位置存放的数值的计算
for (int k = 0; k < N; k++) {
sum += a[i][k] * c[k][j];//求得结果矩阵中坐标为（i，j）的位置的值，存放到sum中
}
temp[i][j] = sum;//将sum的值存到临时矩阵temp中去。
}
}
c = temp;//乘法运算结束，将计算结果放到矩阵c中
}
for (i = 0; i < N; i++) { //打印结果矩阵C
for (j = 0; j < N; j++) {
System.out.print(c[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
}
}
}
问题描述：
给定一个矩阵A,一个非负整数b和一个正整数m，求A的b次方除m的余数。
其中一个nxn的矩阵除m的余数得到的仍是一个nxn的矩阵，这个矩阵的每一个元素是原矩阵对应位置上的数除m的余数。
要计算这个问题，可以将A连乘b次，每次都对m求余，但这种方法特别慢，当b较大时无法使用。
下面给出一种较快的算法(用A^b表示A的b次方)：
若b=0， 则A^b%m=I%m。其中I表示单位矩阵。
|
若b为偶数，则Ab%m=(A(b/2)%m)^2%m，即先把A乘b/2次方对m求余，然后再平方后对m求余。
|
若b为奇数，则Ab%m=(A(b-1)%m)*a%m，即先求A乘b-1次方对m求余，然后再乘A后对m求余。
这种方法速度较快，请使用这种方法计算A^b%m，其中A是一个2x2的矩阵，m不大于10000。
输入格式
输入第一行包含两个整数b, m，第二行和第三行每行两个整数，为矩阵A。
输出格式
输出两行，每行两个整数，表示A^b%m的值。
样例输入
2 2
1 1
0 1
样例输出
1 0
0 1
Idea:
1.有二阶矩阵A、一个非负整数b和一个正整数m，求A的b次方除m的余数。
2.注意是矩阵的乘方运算，
3.对m的取模可以在对矩阵进行输出时进行。
4.
package Algo;
import java.util.Scanner;
/**
@author MingxuDeng
2021年4月3日
State：unsolved
Hint:矩阵乘方
问题描述
给定一个矩阵A,一个非负整数b和一个正整数m，求A的b次方除m的余数。
其中一个nxn的矩阵除m的余数得到的仍是一个nxn的矩阵，这个矩阵的每一个元素是原矩阵对应位置上的数除m的余数。
要计算这个问题，可以将A连乘b次，每次都对m求余，但这种方法特别慢，当b较大时无法使用。
下面给出一种较快的算法(用A^b表示A的b次方)：
若b=0， 则A^b%m=I%m。其中I表示单位矩阵。
|
若b为偶数，则A^b%m=(A^(b/2)%m)^2%m，即先把A乘b/2次方对m求余，然后再平方后对m求余。
|
若b为奇数，则A^b%m=(A^(b-1)%m)*a%m，即先求A乘b-1次方对m求余，然后再乘A后对m求余。
这种方法速度较快，请使用这种方法计算A^b%m，其中A是一个2x2的矩阵，m不大于10000。
输入格式
输入第一行包含两个整数b, m，第二行和第三行每行两个整数，为矩阵A。
输出格式
输出两行，每行两个整数，表示A^b%m的值。
样例输入
2 2
1 1
0 1
样例输出
1 0
0 1
Idea:
1.有二阶矩阵A、一个非负整数b和一个正整数m，求A的b次方除m的余数。
2.注意是矩阵的乘方运算，
3.对m的取模可以在对矩阵进行输出时进行。
4.
*/
public class ALGO_60_矩阵乘方 {
public static void main(String[] args) {
Scanner s=new Scanner(System.in);
//输入第一行包含两个整数b, m，第二行和第三行每行两个整数，为矩阵A。
int b,m;
b=s.nextInt();m=s.nextInt();
int[][]A=new int[2][2];int [][]B=new int[2][2];
int[][]I={{1,0},{0,1}};
int[][]R=new int[2][2];//两行，每行两个整数，表示A^b%m的值。
for(int i=0;i<2;i++){
for(int j=0;j<2;j++){
A[i][j]=B[i][j]=s.nextInt();
}
}
//乘方运算
if(b==0){//若b=0， 则A^b%m=I%m。其中I表示单位矩阵。（直接打印一个N阶的单位矩阵即可）
int i,j,N=2;
for (i = 0; i < N; i++) {
for(j = 0; j < N; j++) {
if (i == j) {
System.out.print(1 + " ");//当目前打印的横纵坐标相等时，即是在主对角线之上，即打印1
} else {
System.out.print(0 + " ");//当目前打印的横纵坐标不相等时，即是没有在主对角线上，即打印0即可
}
}
System.out.println();
}
}else{//若b!=0
switch(b%2){//若b为偶数，则 A^b%m=(A^(b/2)%m)^2%m ，即：先把 A乘b/2次方 对m求余，然后 再平方 后 对m求余 。
case 0:{
int t=b/2;
for(int M=1;M<t;M++){
int[][] temp = new int[2][2];//定义一个临时二维数组，用来存放每一步乘法运算中结果矩阵中的对应位置的计算结果
for(int i=1;i<2;i++){//控制行
for(int j=0;j<2;j++){//控制列
int sum=0;
for(int k=0;k<2;k++){
sum += A[i][k] * B[k][j];//求得结果矩阵中坐标为（j,k）的位置的值，存放到sum中
}
temp[i][j] = sum%m;//将sum的值存到临时矩阵temp中去。
}
R=temp;//乘法运算结束，将计算结果放到矩阵c中
}
}
//上面将 A^(b/2)%m 部分计算完毕，下面对后面的()^2%m 部分进行计算
A=B=R;//更新A、B中的值，否则因子没变的话得到的就不是正确的答案。下面只乘一次
for(int M=1;M<2;M++){
for(int i=0;i<2;i++){//控制行
int[][] temp = new int[2][2];//定义一个临时二维数组，用来存放每一步乘法运算中结果矩阵中的对应位置的计算结果
for(int j=0;j<2;j++){//控制列
int sum=0;
for(int k=0;k<2;k++){
sum += A[i][k] * B[k][j];//求得结果矩阵中坐标为（j,k）的位置的值，存放到sum中
}
temp[i][j] = sum%m;//将sum的值存到临时矩阵temp中去。
}
R=temp;//乘法运算结束，将计算结果放到矩阵c中
}
}
break;}
case 1:{//若b为奇数，则A^b%m=(A^(b-1)%m)*a%m，即先求 A乘 b-1 次方 对m求余，然后 再乘A后 对m求余。
int t=b-1;
for(int M=0;M<t;M++){
for(int i=1;i<2;i++){//控制行
int[][] temp = new int[2][2];//定义一个临时二维数组，用来存放每一步乘法运算中结果矩阵中的对应位置的计算结果
for(int j=0;j<2;j++){//控制列
int sum=0;
for(int k=0;k<2;k++){
sum += A[j][k] * B[k][j];//求得结果矩阵中坐标为（j,k）的位置的值，存放到sum中
}
temp[i][j] = sum%m;//对每一个值进行对m的取模
}
R=temp;//乘法运算结束，将计算结果放到矩阵c中
}
}
//已完成计算：A^(b-1)%m 待完成运算：()*a%m,下面将临时结果R中的值全部给B和A
A=B=R;
for(int M=0;M<t;M++){
int[][] temp = new int[2][2];
for(int i=1;i<2;i++){
int sum=0;
for(int j=0;j<2;j++){
for(int k=0;k<2;k++){
sum += A[j][k] * B[k][j];//求得结果矩阵中坐标为（j,k）的位置的值，存放到sum中
}
//temp[i][j]=sum*a%m;//此处需要注意的是，题目中说是a，但是通篇都没有说明a到底是什么？小D猜测可能是：b、2、m
}
R=temp;
}
}
break;}
default:
break;
}
}
//输出两行，每行两个整数，表示A^b%m的值。
for (int i = 0; i < 2; i++) { //打印结果矩阵C
for (int j = 0; j < 2; j++) {
System.out.print(R[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
}
}
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