5 分钟了解 B 树

最新推荐文章于 2024-08-23 14:33:22 发布

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大家好，前面那篇文章《3 分钟理解完全二叉树、平衡二叉树、二叉查找树》中我们了解了几种特殊的二叉树的功能及特点，知道了它们在进行查找数据时可以提高效率。

但需要注意的是，这是指在内存中进行查找。如果有海量的数据，不可能一次性读取到内存中，这时候就要考虑的是，如何在磁盘中快速找到需要的数据。

今天这篇文章中要介绍的“B 树”，它的使用场景是：查找磁盘中的大量数据。

B 树

B 树就是常说的“B 减树（B- 树）”，又名平衡多路（即不止两个子树）查找树，它和平衡二叉树的不同有这么几点：

平衡二叉树节点最多有两个子树，而 B 树每个节点可以有多个子树，M 阶 B 树表示该树每个节点最多有 M 个子树
平衡二叉树每个节点只有一个数据和两个指向孩子的指针，而 B 树每个中间节点有 k-1 个关键字（可以理解为数据）和 k 个子树（ **k 介于阶数 M 和 M/2 之间，M/2 向上取整）
B 树的所有叶子节点都在同一层，并且叶子节点只有关键字，指向孩子的指针为 null

和平衡二叉树相同的点在于：B 树的节点数据大小也是按照左小右大，子树与节点的大小比较决定了子树指针所处位置。

看着概念可能有点难理解，来看看图对比下平衡二叉树和 B 树。

对比平衡二叉树和 B 树

首先是节点，平衡二叉树的节点如下图所示，每个节点有一个数据和最多两个子树：

B 树中的每个节点由两部分组成：

关键字（可以理解为数据）
指向孩子节点的指针

B 树的节点如下图所示，每个节点可以有不只一个数据，同时拥有数据数加一个子树，同时每个节点左子树的数据比当前节点都小、右子树的数据都比当前节点的数据大：

上图是为了方便读者理解 B 树每个节点的内容，实际绘制图形还是以圆表示每个节点。

了解了节点的差异后，来看看 B 树的定义，一棵 B 树必须满足以下条件：

若根结点不是终端结点，则至少有2棵子树
除根节点以外的所有非叶结点至少有 M/2 棵子树，至多有 M 个子树（关键字数为子树减一）
所有的叶子结点都位于同一层

用一张图对比平衡二叉树和 B 树：

可以看到，B 树的每个节点可以表示的信息更多，因此整个树更加“矮胖”，这在从磁盘中查找数据（先读取到内存、后查找）的过程中，可以减少磁盘 IO 的次数，从而提升查找速度。

B 树中如何查找数据

因为 B 树的子树大小排序规则，因此在 B 树中查找数据时，一般需要这样：

从根节点开始，如果查找的数据比根节点小，就去左子树找，否则去右子树
和子树的多个关键字进行比较，找到它所处的范围，然后去范围对应的子树中继续查找
以此循环，直到找到或者到叶子节点还没找到为止

B 树如何保证平衡

我们知道，平衡的树之所以能够加快查找速度，是因为在添加、删除的时候做了某些操作以保证平衡。

平衡二叉树的平衡条件是：左右子树的高度差不大于 1；而 B 树的平衡条件则有三点：

叶子节点都在同一层
每个节点的关键字数为子树个数减一（子树个数 k 介于树的阶 M 和它的二分之一
子树的关键字保证左小右大的顺序

也就是说，一棵 3 阶的 B 树（即节点最多有三个子树），每个节点的关键字数最少为 1，最多为 2，如果要添加数据的子树的关键字数已经是最多，就需要拆分节点，调整树的结构。

网上找到一张很不错的动图，我们来根据它分析下 B 树添加元素时如何保证平衡。

这个图用以表示往 4 阶 B 树中依次插入下面这组数据的过程：

6 10 4 14 5 11 15 3 2 12 1 7 8 8 6 3 6 21 5 15 15 6 32 23 45 65 7 8 6 5 4

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建议放大图查看。

由于我比较懒，我们来根据前几步分析下 B 树的添加流程：

首先明确：4 阶 B 树表示每个节点最多有 4 个子树、3 个关键字，最少有 2 个子树、一个关键字
添加 6，第一个节点，没什么好说的
添加 10，根节点最多能放三个关键字，按顺序添到根节点中
添加 4，还能放到根节点中
添加 14，这时超出了关键字最大限制，需要把 14 添加为子树，同时为了保证“所有叶子节点在同一层”，就需要拆几个关键字作为子树：

拆为：

这个拆的过程比较复杂，首先要确定根节点保留几个关键字，由于“非叶子节点的根节点至少有 2 棵子树”的限制，那就至少需要两个关键字分出去，又因为“子树数是关键字数+1”，如果根节点有两个关键字，就得有三个子树，无法满足，所以只好把除 6 以外的三个关键字都拆为子树。

谁和谁在一个子树上呢，根据“左子树比关键字小、右子树比关键字大”的规律，4 在左子树，10 和 14 在右子树。

继续添加：

添加 5，放到 4 所在的子树上
添加 11，放在 10 和 14 所在的右子树上
添加 15，按大小应该放到 10、11 和 14 所在的子树上，但因为超过了关键字数限制，又得拆分

因为“根节点必须都在同一层”，因此我们不能给现有的左右子树添加子树，只能添加给 6 了；但是如果 6 有三个子树，就必须得有 2 个关键字，提升谁做关键字好呢，这得看谁做 6 中间的子树，因为右子树的所有关键字都得比父节点的关键字大，所以这个提升的关键字只能比未来右子树中的关键字都小，那就只有 10 和 11 可以考虑了。

提升 10 吧，没有比它小的做子树，那就只能提升 11 了：