LeetCode 152 乘积最大子数组，一个奇特的动态规划问题

题目就是问，在给与的数组中最大的子数组乘积会是多少，返回最大的这个乘机。 如[2,3,-2,4]的最大乘积子数组是2，3，因为2*3=6在这里最大。

乍一看，这不就动态规划嘛，我大手一挥，马上写出如下代码：

int maxProduct(vector<int>& nums) 
    {
        int n=nums.size();
        vector<int> dp(n, 0);
        
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            dp[i]=max(nums[i], dp[i-1]*nums[i]);
        }

        int res=dp[0];
        for(int i=1;i<n;i++)
            res=max(res, dp[i]);
        return res;
    }

我认为，dp[i]代表到下标i为止的数组的子数组最大乘积。 对于每个dp[i]来说，每次可以做选择，要么选择与dp[i-1]结合，乘积为dp[i-1]*nums[i], 要么就不选择于之前结合，自己另起炉灶，直接等于nums[i]。每次选择的是这俩选择中值最大的一个。

提交运行，over！

然后很快啊，很快leetcode就他妈的判我错了

错在哪里了呢？

在这个用例中， 我的算法给出的是3，而真正的答案是24。

实际上，这个问题中，我给出的dp定义并不满足动态规划的最优子结构性质，具体来说，[-2,3,-4]中，实际上答案应该是整个数组的相乘才是最大的乘机。而整个数组元素相乘的过程中，如果没有乘到最后的-4，此时得到的是最小的乘机-6。

也就是说，因为有负数存在，一旦两个负数负负得正就会让某个极小的乘机突然变成极大的乘机。

顺着这个思路，我们得想到，我们需要再保存一个数组，这个数组用于维护乘机的极小值，因为这些极小值很有可能在乘以某一个数字的时候突然变为极大值。 我们需要两个dp数组来保存状态。

我们这里令 Fmax[i]表示到下标为i的元素为止的乘积的极大值，Fmin[i]表示到下标为i的元素为止的乘积的极小值。这样一来，我们可以得到如下代码：

    int maxProduct(vector<int>& nums) 
    {
        int n=nums.size();
        vector<int> Fmax(n,0);
        vector<int> Fmin(n,0);
        
        Fmax[0]=nums[0];
        Fmin[0]=nums[0];
        
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
        	//Fmax[i]可能从之前的Fmax[i-1]取得，也有可能从极小值Fmin[i]取得，也有可能从nums[i]那里得到，所以是三选一
            Fmax[i]=max(Fmax[i-1]*nums[i], max(nums[i],Fmin[i-1]*nums[i]));
            //Fmin[i]可能从之前的Fmin[i-1]取得，也有可能从极大值Fmax[i]取得，也有可能从nums[i]那里得到，也是三选一
            Fmin[i]=min(Fmin[i-1]*nums[i], min(nums[i],Fmax[i-1]*nums[i]));
        }

        int res=Fmax[0];
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            res=max(res, Fmax[i]);
        }
        return res;
    }

这题就做完了，主要是因为存在负数的关系，需要用两个数组互相保存状态，才能满足动态规划最优子结构的条件。