最大化平均值(二分搜索)

//有n个物品的重量和价值分别是Wi和Vi.从中选出k个物品使得单位重量的价值最大
bool judge(double mid)
{
	vector<double> vec;
	for(int i=0;i<N;++i)
		vec.push_back(v[i]-w[i]*mid);
	sort(vec.begin(),vec.end());
	double sum=0;
	for(int i=0;i<K;++i)
	{
		sum+=vec[N-i-1];
	}
	return sum>=0;
}
void solve()
{
	double a=0,b=INF;
	for(int i=0;i<100;++i)
	{
		double mid=a+(b-a)/2;
		if(judge(mid))
			a=mid;
		else
			b=mid;
	}
}

提供的引用中未提及二分最大平均值算法的相关内容,以下是关于二分最大平均值算法的详细介绍。 ### 二分最大平均值算法思路 二分最大平均值算法通常用于在一个数组中找到长度至少为 `k` 的连续子数组的最大平均值。其核心思想是利用二分查找来逼近最大平均值。 假设数组为 `nums`,最大平均值的可能范围在数组中的最小值 `min_val` 最大值 `max_val` 之间。初始化左端点 `left = min_val`,右端点 `right = max_val`。在二分查找的每一步中,取中间值 `mid = (left + right) / 2`,然后检查数组中是否存在长度至少为 `k` 的连续子数组,其平均值大于等于 `mid`。 为了检查是否存在这样的子数组,可以通过以下步骤: 1. 对数组中的每个元素 `nums[i]` 减去 `mid`,得到新的数组 `new_nums`。 2. 计算 `new_nums` 的前缀数组 `prefix_sum`。 3. 遍历前缀数组,对于每个 `i >= k`,检查是否存在 `j` 使得 `prefix_sum[i] - prefix_sum[j] >= 0`,其中 `0 <= j <= i - k`。如果存在,则说明存在长度至少为 `k` 的连续子数组,其平均值大于等于 `mid`,此时更新左端点 `left = mid`;否则,更新右端点 `right = mid`。 重复上述步骤,直到 `right - left` 小于一个给定的误差范围(例如 `1e-5`),此时 `left` 即为所求的最大平均值。 ### 代码示例 ```python def findMaxAverage(nums, k): # 定义误差范围 eps = 1e-5 # 初始化左右端点 left, right = min(nums), max(nums) while right - left > eps: mid = (left + right) / 2 if check(nums, k, mid): left = mid else: right = mid return left def check(nums, k, mid): n = len(nums) # 计算减去 mid 后的新数组 new_nums = [num - mid for num in nums] # 计算前缀数组 prefix_sum = [0] * (n + 1) for i in range(n): prefix_sum[i + 1] = prefix_sum[i] + new_nums[i] # 初始化最小前缀 min_sum = 0 for i in range(k, n + 1): if prefix_sum[i] - min_sum >= 0: return True min_sum = min(min_sum, prefix_sum[i - k + 1]) return False # 示例用法 nums = [1, 12, -5, -6, 50, 3] k = 4 print(findMaxAverage(nums, k)) ``` ### 复杂度分析 - **时间复杂度**:二分查找的时间复杂度为 $O(log(max_val - min_val) / eps)$,每次检查的时间复杂度为 $O(n)$,因此总的时间复杂度为 $O(n log((max_val - min_val) / eps))$。 - **空间复杂度**:主要用于存储前缀数组,空间复杂度为 $O(n)$。
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