逻辑学引言

逻辑学是

• 关于论说(argument)的
• 关于推理(inference, reasoning)的
• 关于理论或信念一致性(consistency)的

论说

总结：推理、前提、结论

日常中，人们说的句子大体可以分为两类：真句子和假句子。

直接考察一个句子$\varphi$的真假往往是很难做到的，人们往往需要比较$\varphi$某些我们不相信(${\chi }_0,\cdots ,{\chi }_n)$)或者相信的句子(${\psi }_0,\cdots ,{\psi }_n$)。实际上指的是从前提得到结论的过程。

从${\chi }_0,\cdots ,{\chi }_n$（或者(${\psi }_0,\cdots ,{\psi }_n$)）到$\varphi$或者其否定的过度，通常被称为推理。
${\chi }_0,\cdots ,{\chi }_n$（或者(${\psi }_0,\cdots ,{\psi }_n$)）被称为前提
$\varphi$或者其否定则被称为结论。

人们用下面的形式表示论说：
将前提和结论用横线分开，并在结论前加上‘$\therefore$’（表示所以）。下面就是一个论说的例子。
$$\begin{array}{c}人们不需要996\\ 程序员是人\\ \therefore 程序员不需要996\end{array}$$

论说的好坏

总结：
论说的好坏与结论和前提的真假无关
论说的好坏与论说的形式有关
论说的形式没有反例，则说这个形式是好的
如果论说的形式是好的，那么论说是好的

论说形式的好坏

一个具体论说的好坏与前提和结论的真假无关。一个好的论说可能前提和结论都是假的，一个坏的论说可能前提和结论都是真的。
比如：
$$\begin{array}{c}蝴蝶都不会说英语\\ 猴子不是蝴蝶\\ \therefore 猴子不会说英语\end{array}$$
这里前提和结论都是正确的，但是推理却毫无道理可言。人不是蝴蝶，但有的人的确会说英语。但前提和结论中的每一句话都是真的。

论说的好坏是根据 论说的形式(argument form) 来判断的。
形式大体上如下面所示：
$$\begin{array}{c}所有S是P\\ a是S\\ \therefore a是P\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

当一个论说的字母被一些语句替代之后，我们称为这是该论说的一个特例(instance)。一个论说形式的特例中，有一类被称为反例，它满足：

• 反例(counter example)：所有前提为真，但是结论是假的特例。

如果一个论说形式没有反例，那么就说这个论说形式是好的，反之，如果有反例，则是不好的。

论说的好坏由论说的形式决定

总结:

• 一个论说是好的，如果他的形式是好的(它的形式不存在反例)
  • 前提逻辑蕴含结论
  • 结论是前提的逻辑后承
• 一个论说是坏的，如果他的形式是坏的(它的形式存在反例)

对于下面的形式：
$$\begin{array}{c}所有S不是P\\ a不是S\\ \therefore a不是P\end{array}$$
我们可以很容易的找到一组反例：
$$\begin{array}{c}所有猫不是狗\\ 秋田牧羊犬不是猫\\ \therefore 秋田牧羊犬不是不是狗\end{array}$$
所以，这个论说的形式不是好的，这个论说也不是一个好的论说。
而对于上节的(1)式，无论a，P，S填入什么名词，都不会得到真的前提和假的结论，所以这是一个好的论说形式。

说论说形式是好的并不仅是找不到反例，因为找不到不等于没有。该学科的目的之一，就是说明判断论说好坏的各种方法。

如果一个论说是好的，那么接受他前提都是真，就无法拒绝他的结论为真；反之认为他结论为假，就无法坚持其前提为真。
用术语来说，如果一个论说是好的，就意味着他的前提 逻辑蕴含(logically implies) 他的结论；或者说他的结论是前提的 逻辑后承(logical consequence)。

演绎

总结

• 好的论说可以从前提合理地推出其结论
• 演绎是推理链的一种
• 演绎保留真实性，不保留荒谬性

谈到好坏与推理的关系时，也会有类似于下面命题的说法：

对任何一个论说，如果从其前提能够合理的推出其结论，那么该论说是好的；如果从其前提不能合理的推出其结论，就说该论说是坏的。

其中，”合理的推出结论“通常被理解为一个末端是这个结论的 推理链(chain of reasoning)。它可以有多步，但是每一步都要合理。对“合理性”的各种要求或解释，形成了不同类型的推理链。演绎(deduction) 就是这些类型中的一种。

演绎对“合理性”的基本要求是：

• 推理链每个推理步骤，如果不是前提、定义、预设、公理，或者从这些东西”合理地“推出的命题，那么一定是从某些明确的规则中得到的，这些规则要有如下的性质：
  • 在演绎中使用这些规则时，人们从真命题只能得到真命题。

人们常用的三段论、假言推理规则、选言推理规则就属于这种规则。直观上来开，演绎是将好的论说连接起来，一步步的推出每个命题都是该命题前面某些命题的逻辑后承。

演绎和好的论说一样，不考虑前提或结论的真假。只要推演的规则选择适当，运用这些规则得到的命题都是前提的逻辑后称，即演绎保留真实性。所以，它不仅可以用来从正面论证命题的真实性，也可以由反面论证命题的荒谬性。但演绎不保留荒谬性，由荒谬的命题演绎出的不仅仅是荒谬的命题。

可演绎性、可证性和独立性

总结：
演绎、证明、不可证(独立性)、公理系统的独立性

• 如果从一集命题(理论、前提或假设)演绎出了某个命题$\varphi$那么就称这个命题是可演绎的(deducible)。
• 从一集命题可演绎的常被称为这集命题的演绎后承(deductive consequence)。
• 没有前提的演绎称为证明
• 无需前提就可演绎的命题称为是可证明的或者可证的(provable)
• 说一个命题是不可证或者从给定命题集不可演绎，不是说找不到这样的证明或者演绎，而是说不存在这样的证明或演绎

独立性就是不可演绎性,只不过它多用于人们感兴趣的命题。

一个命题在一个系统中是否不可证，常被称为这些命题(相对于该系统)的 独立性(independence) 问题。

独立性常常用在公理问题上。

给定一个公理系统，和其中一个公理$\varphi$。如果该系统的全部推理规则和除$\varphi$外的所有公理构成的该系统的子系统，如果$\varphi$在这个系统中不可证，那么我们就称$\varphi$是独立的(independent)。
对于一个系统的公理集合，如果其中每个公理都是独立的，我们称这个公里集合为独立的。

可演绎性与论说

可靠性定理：如果一个论说的前提能够演绎出它的结论，这个论说就是好的。
完全性定理：一个论说形式是好的，那么一定存在一个从它的前提到它的结论的演绎

演绎和论说在某些地方不同。论说的好坏总伴随真假的讨论，而演绎则相当于机械化的使用规则进行推理。如果给定公理系统，我们能穷举所有的规则来推出前提所有可以演绎出来的结论，这个过程中完全不考虑真假的概念。

一致性

基本想法

总结：

• 语义一致性：侧重于存在一组解释使得所有命题为真
• 语法一致性：侧重于是否能够推导出矛盾
• 完全性：语义一致的都是语法一致的
• 可靠性：语法一致的都是语义一致的

逻辑中说的一致性，直观上讲就是不自相矛盾，能自圆其说，或者说各种相关的命题能够相安无事。也有人说一致性就是自洽。当我们说两个理论不一致，或者两组信念不一致时，我们实际上指的是将两组理论或者合在一起会就会不一致。

说一个理论(或者一集信念)是一致的，意思是说在适当的解释下，这个理论中的所有命题可能同时为真；而一个理论(或者一集信念)不一致，是说在任何解释下，这理论中的命题都不可能同时为真。这种一致性的观念是一种“语义”下的观念，我们可以称它为语义一致性。
逻辑中还有语法一致性，他是说对于每一个理论，如果从他不能演绎出一对矛盾的命题，那么他就是一致的；否则是不一致的。

当代逻辑学中，一般的一致性是指语法一致性，而语义一致性被称为可满足性。

语法一致性和语义一致性存在如下关系：

• 给定演绎系统，如果语义一致的理论都是语法一致的，那么该系统一定有“可靠性”，即从前提可推演的都是这些逻辑的逻辑后承。
• 给定演绎系统，如果语法一致的理论都是语义一致的，那么该系统一定具有“完全性”，即只要是前提的逻辑后承都可从这些前提可演绎。

对于一致性，我们可以看下面这个例子：

这位Tony老师为且只为所有不给自己理发的人理发

从这句话，我们可以推到出两点：

1. Tony老师只为不给自己理发的人理发
2. Tony老师为所有不给自己理发的人理发

那么，如果Tony老师为自己理发，那么根据1，Tony老师不能给自己理发。而如果Tony老师不给自己理发，那么根据2，Tony老师会为自己理发。所以这个命题集合虽然只有一个命题，但依然是不一致的。

某些命题集合，任意一对命题都不矛盾，但是多个命题合在一起就会导致矛盾。

一致性、逻辑蕴含和可演绎性的关系

逻辑学本身不关注具体信念或者理论的真伪，而注重理论和内部各个命题之间的关系。一集命题的一致性，是这集命题为真的必要条件。如果一个理论不一致，那么任何一种解释都不能使得命题中的所有命题同时成立。
也就是说，一个理论或者信念被人们相信或者接受往往不仅仅是因为他是一致的，而不一致的理论，那么一定是不可接受的。

一致性与逻辑蕴含和可演绎性是“相通”的。

• 如果一个理论不一致，对于其中的任何命题，该理论的其他命题一定逻辑蕴涵它的否定；它的否定从该理论的其他命题一定可演绎。
• 如果一个理论是一致的，那么对于其中的任何命题，该理论的其他命题不会逻辑蕴涵它的否定 。它的否定从该理论的其他的命题一定不可演绎。