动态规划求解LCS最长公共子序列（含所求序列溯源）

目录

1.最长公共子序列问题描述

2.问题解析 

2.1为什么用动态规划来做？

2.2怎么用动态规划来做？

3.java代码实现

4.最长公共子序列追踪

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1.最长公共子序列问题描述

最长公共子序列（Longest Common Subsequence），这个名词可以说是耳熟能详了。

给定两个字符串 string1 和 string2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。如果不存在公共子序列，返回 0。

注意，子序列并非子字符串，子字符串要求连续，子序列并不要求连续。

如BDE是ABCDE子序列，也是BDCAE的子序列，这样BDE就是二者的公共子序列了。

2.问题解析 

由于是经典问题了，都知道用动态规划来做，因此抛出两个问题。

2.1为什么用动态规划来做？

一般的题如果有最优子结构与重叠子问题，就用动态规划来做。

最优子结构：

1. 对于长度分别为a，b的字符串两个字符串来说，我们求的是其最长公共子序列。
2. 若是将这两个字符串各删掉k个字符。
3. 对于长度分别为a-k、b-k的两个字符串来说，我们求的还是其最长公共子序列，而a、b的一对可以根据a-k、b-k的一对推出来。
4. 因此符合最优子结构的特点。

重叠子问题：

1. 若求长度分别为a+k、b+k的一对序列的最长公共子序列可以从a、b的一对推出来，也可以从a-k、b-k的一对推出来。
2. 而a、b的一对也可以从a-k、b-k的一对推出来，那么这两个子问题就重叠了。

2.2怎么用动态规划来做？

只需推导出递推公式然后根据递推公式初始化dp数组后就可以等着机器算出答案了。

设 X=(x1,x2,.....xn) 和 Y={y1,y2,.....ym} 是两个序列，将 X 和 Y 的最长公共子序列记为LCS(X,Y)

1）如果xn=ym，即X的最后一个元素与Y的最后一个元素相同，这说明该元素一定位于公共子序列中。因此，现在只需要找：LCS(Xn-1，Ym-1)