P1616 疯狂的采药

题目描述 Description

LiYuxiang是个天资聪颖的孩子,他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此,他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质,给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说:“孩子,这个山洞里有一些不同种类的草药,采每一种都需要一些时间,每一种也有它自身的价值。我会给你一段时间,在这段时间里,你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子,你应该可以让采到的草药的总价值最大。”
如果你是LiYuxiang,你能完成这个任务吗?
此题和原题的不同点:
1.每种采药可以无限制地疯狂采摘。
2.药的种类眼花缭乱,采药时间好长好长啊!师傅等得菊花都谢了!
  输入输出格式 Input/output
输入格式:
输入第一行有两个整数T(1 <= T <= 100000)和M(1 <= M <= 10000),用一个空格隔开,T代表总共能够用来采药的时间,M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到10000之间(包括1和10000)的整数,分别表示采摘某种草药的时间和这种草药的价值。
输出格式:
输出一行,这一行只包含一个整数,表示在规定的时间内,可以采到的草药的最大总价值。
  输入输出样例 Sample input/output
样例测试点#1
输入样例:

70 3
71 100
69 1
1 2

输出样例:

140

题目链接:http://www.luogu.org/problem/show?pid=1616#

解题思路:完全背包

代码如下:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn=10000+10;
int v[maxn],t[maxn],dp[10*maxn];
int main(void)
{
	int T,m;
	scanf("%d%d",&T,&m);
	for(int i=0;i<m;i++)
		scanf("%d%d",&t[i],&v[i]);
	for(int i=0;i<m;i++)
	{
		for(int j=t[i];j<=T;j++)
			dp[j]=max(dp[j],dp[j-t[i]]+v[i]);
	}
	printf("%d\n",dp[T]);
}


### 关于P1048采药问题的C语言实现与解题思路 #### 解题思路概述 对于此类背包问题,核心在于理解如何构建合适的状态转移方程。此题属于典型的0-1背包问题变种,即给定一定数量的不同药材及其对应的价值和所需时间,求在限定时间内能获得的最大价值总和[^2]。 #### 动态规划模型建立 定义二维数组`dp[i][j]`表示前i种药材中选取若干种(每种至多选一次),使得它们的时间消耗不超过j的情况下所能得到的最大价值。其中,`i`代表考虑到了第几种药材,而`j`则指代当前剩余可用的时间资源。 #### 初始化条件设定 初始化时需注意边界情况处理,当没有任何药材可供选择(`i=0`)或是完全没有时间可以利用(`j=0`)的时候,能够获取到的最大价值自然为零;因此设置`dp[0][j]=0 (for all j)`以及`dp[i][0]=0 (for all i)`作为初始状态[^3]。 #### 状态转移逻辑阐述 针对每一个新的药材选项,有两种可能性:要么不选用该药材,则最大价值保持不变,继承自上一轮的结果;要么选择它,此时需要判断加入这件物品是否会超出允许范围,并据此更新最优解。具体表达式如下: \[ dp[i][j] = \begin{cases} max(dp[i-1][j],\,dp[i-1][j-w_i]+v_i),& 若j≥w_i\\ dp[i-1][j],& 否则 \end{cases}\] 此处\( w_i \) 和 \( v_i \) 分别代表第i件药材所需的采集时间和其带来的收益值。 #### C语言代码实例展示 下面是基于上述分析编写的完整C程序版本: ```c #include <stdio.h> #define MAXN 105 #define MAXT 1005 int main(){ int n,t; scanf("%d%d",&t,&n); int weight[MAXN]; int value[MAXN]; for(int i=1;i<=n;++i){ scanf("%d %d", &weight[i], &value[i]); } int dp[MAXT]={0}; for(int i=1;i<=n;++i) for(int j=t;j>=weight[i];--j){ if(dp[j]<dp[j-weight[i]]+value[i]) dp[j]=dp[j-weight[i]]+value[i]; } printf("%d\n",dp[t]); return 0; } ``` 这段代码实现了对输入数据读取、动态规划表格填充直至最终结果输出的过程。值得注意的是,在内层循环里采用了倒序遍历的方式以防止重复计算同一位置上的最佳方案。
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