学习笔录【算法效率分析】

注意：本文摘自《数据结构——从概念到C实现》【王红梅 皮德常 编著】

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算法效率分析

度量算法的效率有两种方法

一，事后统计，先实现算法，再输入数据来测量其时间，空间开销。此种方法的缺点至少有

1. 编写程序实现算法很耗费时间精力
2. 实验结果依赖于计算机的软硬件等环境因素，有时很容易掩盖算法本身的优劣。

二，事前分析估计，渐进复杂度估算，这是对算法所消耗资源的一种估算方法。

算法的时间复杂度

    同一个算法用不同的程序设计语言实现，或者用不同的编译程序进行编译，或者在不同的计算机上运行，效率均不相同。撇开与计算机软硬件有关的因素，影响算法时间代价的最主要因素是问题规模。问题规模是指输入量的多少，一般来说，它可以从问题的描述中得到。例如，找出100以内的所有素数，问题规模是100；对一个具有n个整数的数组进行排序，问题规模是n。一个显而易见的事实是：几乎任何算法对于规模更大的输入需要运行更长的时间。例如，找出1000内所有的素数比找出100内所有的素数需要更多的时间。所以，运行算法所需要的时间T是问题规模n的函数，记作T(n)。

​    要精确地表示算法的运行时间函数常常是很困难的，即使能够给出，也可能是个相当复杂的函数。为了客观地反映一个算法的执行时间，可以用算法中基本语句的执行次数来度量算法的工作量。基本语句是执行次数与整个算法的执行次数成正比的语句，基本语句对算法运行时间的贡献最大，是算法中最重要的操作。这种衡量效率的方法得出的不是时间量，而是一种增长趋势的度量。换而言之，只考察问题规模充分大时，算法中基本语句的执行次数在渐近意义下的阶，称作算法的渐近时间复杂度，通常使用大O记号表示。

【定义1-1】若存在两个正的常数c和n0，对于任意的n>=n0，都有T(n)<=c * f(n)，则称T(n) = O(f(n))（读作“T(n)是Ofn的”，f(n)即与算法的运行时间函数同一数量级的估算函数）

​    此定义表明了函数T(n)与f(n)具有相同的增长趋势，并且T(n)的增长至多趋同于函数f(n)的增长。大O记号用来描述增长率的上限，也就是说，当输入规模为n时，算法耗费的时间的最大值。

​    算法的时间复杂度实际上是一种估算技术，若两个算法中的一个比另一个“稍微快一点”时，并不能基于时间复杂度来判断哪个算法更为优越。但在实际应用中，基于时间复杂度来判断算法的效率被证明是很有效的，尤其在确定算法是否值得实现的时候。常见的时间复杂度如下：
O ( log ⁡ 2 n ) &lt; O ( n ) &lt; O ( n l o g 2 n ) &lt; O ( n 2 ) &lt; O ( n 3 ) &lt; . . . &lt; O ( 2 n ) &lt; O ( n ! ) O(\log_2n)&lt;O(n)&lt;O(nlog_2n)&lt;O(n^2)&lt;O(n^3)&lt;...&lt;O(2^n)&lt;O(n!)