扩展欧几里得算法

为了介绍扩展欧几里得
，我们先介绍一下贝祖定理：

即如果a、b是整数，那么一定存在整数x、y使得ax+by=gcd(a,b)。

换句话说，如果ax+by=m有解，那么m一定是gcd(a,b)的若干倍。（可以来判断一个这样的式子有没有解）

有一个直接的应用就是 如果ax+by=1有解，那么gcd(a,b)=1；

要求出这个最大公因数gcd(a,b)，我们最容易想到的就是古老悠久而又相当强大的辗转相除法：

int gcd(int a,int b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

但是，对于上面的式子ax+by=m来说，我们并不仅仅想要知道有没有解，而是想要知道在有解的情况下这个解到底是多少。

所以，扩展欧几里得

• 当到达递归边界的时候，b==0，a=gcd(a,b) 这时可以观察出来这个式子的一个解：a*1+b*0=gcd(a,b)，x=1,y=0，注意这时的a和b已经不是最开始的那个a和b了，所以我们如果想要求出解x和y，就要回到最开始的模样。

• 初步想法：由于是递归的算法，如果我们知道了这一层和上一层的关系，一层一层推下去，就可以推到最开始的。类似数学上的数学归纳法。

• 假设当前我们在求的时a和b的最大公约数，而我们已经求出了下一个状态：b和a%b的最大公因数，并且求出了一组x1和y1使得b*x1+(a%b)*y1=gcd

（注意在递归算法中，永远都是先得到下面一个状态的值）

这时我们可以试着去寻找这两个相邻状态的关系：

首先我们知道：a%b=a-(a/b)*b；带入：

b*x1 + (a-(a/b)*b)*y1

= b*x1 + a*y1 – (a/b)*b*y1

= a*y1 + b*(x1 – a/b*y1) = gcd   

发现 x = y1 , y = x1 – a/b*y1

这样我们就得到了每两个相邻状态的x和y的转化，就可以在求gcd的同时对x和y进行求值了

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板子：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
 
using namespace std;
 
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)//扩展欧几里得算法
{
    if(b==0)
    {
        x=1;y=0;
        return a;  //到达递归边界开始向上一层返回
    }
    int r=exgcd(b,a%b,x,y);
    int temp=y;    //把x y变成上一层的
    y=x-(a/b)*y;
    x=temp;
    return r;     //得到a b的最大公因数
}

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