模线性方程组、中国剩余定理

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本文介绍了解模线性方程及方程组的方法，包括通过扩展欧几里得算法解单个方程和利用中国剩余定理解方程组。提供了两种解法的具体步骤及对应的C++实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

对模线性方程 ax = b (mod m)，有 ax = k*m + b，其中 k 是整数。
移项后有 ax - km = b，转化到了 EXGCD 的解法。

若有模线性方程组如下：
$x = b_1 (mod m_1)$
$x = b_2 (mod m_2)$
$x = b_3 (mod m_3)$
…………
$x = b_k (mod m_k)$
需要我们解出一个 $x$

方法一：

我们取前两个式子，则有
$x = k_1*m_1 + a_1$
$x = k_2*m_2 + a_2$
相应变动后有
$m_1*k_1 - m_2*k_2 = a_2 - a_1$
其中 $m_1，m_2，a_2，a_1$ 是已知的，由 exgcd 能够得到一组特解 $k_1，k_2$ .
$k_1$ 带回第一个式子能得到一个特解 X。
那么其他的解 $x = X + k*lcm(m_1, m_2)$ ，k是自然数。
变形后可以得到
$x = X (mod lcm(m_1, m_2))$
再和 $x = b_3 (mod m_3)$ 继续上述过程，可以得到所有方程的解。

方法二：

中国剩余定理：

有一次同余方程组如下：
$x = b_1 (mod m_1)$
$x = b_2 (mod m_2)$
$x = b_3 (mod m_3)$
….
$x = b_k (mod m_k)$

设 $m_1, m_2, m_3 ... m_k$ 是两两互素的正整数，对于任意的 $b_1, b_2, b_3 ... b_k$ ，一次同余方程组必定有解，且只有一组解。

令 $M = m_1*m_2*m_3* ... *m_k$ ， $M_i = \frac{M}{m_i}$ ，
有 ${M_i}^{-1}$ 满足 ${M_i}^{-1}*{M_i} = 1 (mod (m_i))$ ，
则同余方程组的解为 $x = (∑Mi*{Mi}^{-1}*{bi}) (mod M)$

方法一代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define ll long long
using namespace std;

ll mr[105];
ll ar[105];

ll exgcd (ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    if (b == 0) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    ll r = exgcd(b, a%b, x, y);
    ll t = x;
    x = y;
    y = t - a/b*y;
    return r;
}

ll solve (int n) {
    ll M = mr[1], A = ar[1], x, y;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        ll d = exgcd(M, mr[i], x, y);
        if (abs(A - ar[i]) % d != 0) {
            return -1;
        }
        x = (A - ar[i]) / d * x;
        ll tmp = ar[i] / d;
        x = x % tmp;
        A = x*M + A;
        M = M*ar[i]/d;
        A = A % M;
        if (A < 0) {
            A += M;
        }
    }
    if (A == 0) {
        return M;
    }
    else {
        return (A%M+M)%M;
    }
}

方法二代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define ll long long
using namespace std;

ll mr[105];     //模
ll ar[105];     //余数

ll exgcd (ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    if (b == 0) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    ll r = exgcd(b, a%b, x, y);
    ll t = x;
    x = y;
    y = t - a/b*y;
    return r;
}

ll solve (int n) {
    ll ans = 0, M = 1;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        M *= ar[i];
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        ll tmp = M / mr[i];
        ll x, y;
        exgcd(tmp, mr[i], x, y);
        ans = (ans + tmp*x*ar[i]) % M;
    }
    return (ans%M+M)%M;
}