Machine_Learning_2019_Task 10 CART

Machine_Learning_2019_Task 10 CART

要求

• 学习Gini指数
• 学习回归、分类树
• 剪枝

CART树

• 目标变量是类别型——分类树：Gini指数
• 目标变量是连续型——回归树：平方误差最小化(前期Task8已解释)
• 算法
  • 决策树生成
  • 决策树剪枝

CART与ID3的异同点

二元划分

• 二叉树不易产生数据碎片，精确度往往也会高于多叉树。

选择变量的不纯度

• 分类型目标：Gini指数。
• 连续型目标：最小平方残差。

CART生成算法

输入：训练数据集D，停止计算条件

输出：CART决策树

从根结点，递归对每个结点操作：

• 1. 设结点数据集为D，对每个特征A，对其每个值a，根据样本点对A=a的测试为是或否，将D分为D1，D2，计算A=a的Gini指数；
• 2. 在所有的特征A以及所有可能的切分点a中，选择Gini指数最小的特征和切分点，将数据集分配到两个子结点中；
• 3. 对两个子结点递归调用1，2步骤；
• 4. 生成CART树。

剪枝过程

• 用预剪枝或后剪枝对训练集生长的树进行剪枝。

• 1. 形成子树序列：从生成算法产生的决策树T0底端开始不断剪枝，直到T0的根结点，形成子树序列{T0,T1…Tn}；

     剪枝过程中，计算子树的损失函数：
     $$C_{\alpha }(T)=C(T)+\alpha |T|$$
     对固定的a一定存在损失函数最小的子树，表示为Ta，当a变大时，最优子树Ta偏小，a=0时，整体树最优，a趋近无穷大，单结点最优；

     将a从小增大，
     $$\mathrm{o}={\alpha }_0<{\alpha }_1<\cdots <{\alpha }_n<+\infty$$
     最有字数序列：
     {T0,T1,⋯&ThinSpace;,Tn} \left\{T_{0}, T_{1}, \cdots, T_{n}\right\} {T0​,T1​,⋯,Tn​}
     从T0开始剪枝，以t为单结点树的损失函数：
     $$C_{\alpha }(t)=C(t)+\alpha$$
     以t为根结点的子树Tt的损失函数：
     $$C_{\alpha }\left(T_t\right)=C\left(T_t\right)+\alpha \left|T_t\right|$$
     当a=0及a很小时，
     $$C_{\alpha }\left(T_i\right)<C_{\alpha }(t)$$
     不断增大a，当
     $$C_{\alpha }\left(T_t\right)=C_{\alpha }(t)\alpha =\frac{C(t)-C\left(T_t\right)}{\left|T_t\right|-1}$$
     Tt与t有相同损失函数值，但t结点更少，所以剪枝Tt。

     对T0中每个内部结点t，计算：
     $$g(t)=\frac{C(t)-C\left(T_t\right)}{\left|T_t\right|-1}$$
     在T0中剪去g(t)最小的Tt，将得到的子树作为T1，同时将最小的g(t)设为a1，T1为区间[a1,a2) 的最优子树；

     直到根节点，不断增加a的值，产生新的区间。

• 2. 通过交叉验证法在独立的验证数据集上对子树序列{T0,T1…Tn}进行测试，从中选择最优子树Ta；

     即，利用独立的验证数据集，测试子树序列中各子树的平方误差或基尼指数，最小的决策树就是最优决策树。

树建立

• 如果目标变量是标称的，并且是具有两个以上的类别，则CART可能考虑将目标类别合并成两个超类别（双化）；
• 如果目标变量是连续的，则CART算法找出一组基于树的回归方程来预测目标变量。

CART之分类树的生成(Gini指数)

• 分类问题中，假设有k个类，样本点属于k的概率Pk，则概率分布的基尼指数：
  $$\mathrm{Gini}(p)=\sum _{k=1}^K{p}_k\left(1-p_k\right)=1-\sum _{k=1}^K{p}_k^2$$

• 二分类问题：
  $$\mathrm{Gini}(p)=2p(1-p)$$

• 对给定的样本集合D，基尼指数：
  $$\mathrm{Gini}(D)=1-\sum _{k=1}^K{\left(\frac{\left|C_k\right|}{|D|}\right)}^2$$

• 如果样本集合D根据特征A是否为a被分割成D1和D2，即：
  D1={(x,y)∈D∣A(x)=a},D2=D−D1 D_{1}=\{(x, y) \in D | A(x)=a\}, \quad D_{2}=D-D_{1} D1​={(x,y)∈D∣A(x)=a},D2​=D−D1​

• 则在特征A的条件下，集合D的基尼指数：
  $$\mathrm{Gini}(D,A)=\frac{\left|D_1\right|}{|D|}\mathrm{Gini}\left(D_1\right)+\frac{\left|D_2\right|}{|D|}\mathrm{Gini}\left(D_2\right)$$