[MATH126-Partial Differential Equation]偏微分方程Helmholtz equation

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#偏微分方程 #Helmholtz #链式法则

本文介绍了Helmholtz方程的来源，通过将u的表达式代入得到一个关于v的函数，并讨论了三种边界条件：Dirichlet条件（边界值为0）、Neumann条件（关于外向单位矢量的偏导为0）以及Robin条件。Helmholtz方程在解决波动问题和波动光学中扮演关键角色。

[MATH126-Partial Differential Equation]偏微分方程Helmholtz equation

Helmholtz Equation

在这里插入图片描述

方程由来

在这里插入图片描述
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将u的表达式代入方程得到
在这里插入图片描述
得到
在这里插入图片描述
左边是关于v的一个函数，右边是关于phi的函数，所以他们应该等于一个常数。而右边这部分由于phi是关于x的函数，x为n维空间的一个向量，所以称之为spatial equation,将常数设为负的lambda，我们得到了Helmholtz equation。这里设为负的是为了使lambda大于0.（这里需要证明，之后有时间会补上）

三种condition

Dirichlet

Phi在domain的边界上值为0
比如说在一维的条件下，我们可以得到Helmholtz equation的解<

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计算机科学中的数学之：偏微分方程与数值解
AI天才研究院
11-17 1349
在本篇文章中，作者将会介绍偏微分方程(PDE)及其求解方法，以及使用传统的有限差分法进行计算的方法。与此同时，还会介绍一些常用的物理学的应用案例，包括扩散理论、流体动力学、动力学流体力学等。希望通过本篇文章，对读者了解这些知识有个基本的了解。偏微分方程（Partial Differential Equations，PDE）指由变量之间的相互作用引起的微分方程，通常用来描述真实世界中的很多现象，如流体、熔点热辐射、固体介电性、流体力学等。
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偏微分方程I 一阶方程1 一阶PDE的简介与例子
Helmholtz方程在直角坐标系下的变量分离及高维Fourier展开 | 特殊函数（一） |偏微分方程（二十三）
用途：中英文学习笔记，如有侵权，可评论留言，及时清理；学历：NUS计算机硕士；SYSU地球物理学士
05-20 3594
将分离变量法推广到高维情况。在正交曲线坐标系下对数学物理方程分离变量，会出现某些变系数线性常微分方程，这些方程的解在数学物理中有广泛应用，是一些特殊函数。 1. 正交曲线坐标系下的变量分离 在求高维空间中发展方程的变量分离形状解时，通常先把时间变量分离出去，得到仅含空间变量的偏微分方程。如对于三维波动方程utt=a2Δ3uu_{tt}=a^2\Delta_3uutt​=a2Δ3​u或热传导方程ut=a2Δ3uu_t=a^2\Delta_3uut​=a2Δ3​u，均可令u=T(t)v(x,y,z)u=T(t)
[有限元方法阶段汇总篇] 有限元入门简单 1D 示例程序（Helmholtz 方程）
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[MATH126-Partial Differential Equation]偏微分方程Heat Equation
Cplus_ruler的博客
04-29 1025
[MATH126-Partial Differential Equation]SM数学-偏微分方程Heat EquationHeat Equation由来homogeneous equationInhomogeneous Problem例题我滴解法 感觉被数学pua了，从小学就很喜欢数学，在小学的时候做奥数题，在初中开始接触竞赛，高中花了很多时间在竞赛上。但是感觉对于数学的喜欢和我对于音乐的喜欢不太一样。我愿意花很多时间来学习一样乐器，甚至减少我玩游戏的时间，因为我沉浸其中。但是，我在高中之后做数学的时候，
平面声波——一维Helmhotz波动方程
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10-17 2304
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MATLAB齐次方程的求解代码-fastHelmholtz:具有二阶Clayton-Enquist边界条件的亥姆霍兹求解器+与分析相比
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Helmholtz方程与Maxwell方程在光通信中的相关应用 【摘要】Helmholtz方程和Maxwell 方程组出现在地球物理、医学、遥感技术等众多领域，经常被用来刻画声波或电磁波的辐射和散射，以及建筑物的振动等现象，是典型的偏微分方程。与偏微分方程边值问题相比，我们不需要去除 拉普莱斯算子的特征值就可以保证Cauchy 问题解的唯一性。然而Cauchy 问题是不稳定的， 如果测量的Cau
基于Helmholtz方程的声学问题研究
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通过Green第二恒等式，原始的Helmholtz方程可以转化为边界积分方程。BEM的核心在于使用基本解(Green函数)，他是Helmholtz方程的一个特解。其中，u是待求解的场量(例如声压)，k是波数，k=w/c,其中w是角频率，c为介质中的波速。，并仅需在问题域的边界上进行离散化和数值计算，从而将无限域问题转化为有限域问题。是场函数u的法向导数，c(x0)是系数，通常与边界点的位置有关。其中，x是场点，x0是源点，H是第一类Hankel函数。Helmhoitz方程是一个二阶线性偏微分方程，
圆柱坐标系统中亥姆霍兹方程的解
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Partial Differential Equation Toolbox在求解水击偏微分方程时的精度如何提高？
10-15
在使用MATLAB的Partial Differential Equation Toolbox求解水击偏微分方程时，可通过以下方法提高求解精度： ### 网格细化 网格的质量和密度对求解精度有显著影响。更精细的网格能更准确地捕捉物理量的变化。在MATLAB中，可以使用`generateMesh`函数来控制网格的生成。例如： ```matlab model = createpde(); % 添加几何形状等操作 % 生成更精细的网格 hmax = 0.01; % 最大单元尺寸 generateMesh(model,'Hmax',hmax); ``` ### 选择合适的求解器和算法 不同的求解器和算法对不同类型的偏微分方程有不同的精度表现。可以根据水击偏微分方程的特点选择合适的求解器选项。例如，在求解时可以调整求解器的容差： ```matlab specifyCoefficients(model,'m',0,'d',1,'c',1,'a',0,'f',0); options = solverOptions('NonlinearMethod','Newton','AbsTol',1e-6,'RelTol',1e-6); result = solvepde(model,options); ``` ### 边界条件的精确设置 水击问题的边界条件对求解结果影响很大。要准确描述管道两端的压力、流速等边界条件。例如，设置Dirichlet边界条件： ```matlab applyBoundaryCondition(model,'dirichlet','Edge',1,'u',10); % 在边界1上设置u = 10 ``` ### 结合高阶方法 对于一些复杂的水击问题，可以考虑结合高阶有限元方法。虽然MATLAB的Partial Differential Equation Toolbox默认使用的方法通常能满足一般需求，但对于高精度要求的问题，高阶方法可能更合适。可以通过查阅MATLAB文档了解如何使用高阶有限元方法。 ### 与其他数值方法结合 可以将龙格 - 库塔方法与Partial Differential Equation Toolbox结合使用。龙格 - 库塔方法是一种广泛应用于常微分方程初值问题的有效数值求解技术，对于偏微分方程的求解，通常需要与离散化技术（如有限差分法、有限元法等）结合使用，将PDE转化为一系列常微分方程，然后应用龙格 - 库塔算法求解这些转化后的ODE系统[^3]。
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